知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． f(x)=
ax2+1，x≥0
(a2-1)eax，x＜0
对定义域内的任意实数x都有
lim
△x→0
f(x+△x)-f(x)
△x
＞0（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是．

难度：中等

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2．若f′（x₀）=1，则
lim
k→0
f(x0-k)-f(x0)
2k
= ．

难度：中等

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3．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，
π
2
）上不是凸函数的是．（把你认为正确的序号都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

难度：较难

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4．设函数f(x)=
x2+ax(x≤1)
x+b(x＞1)
，若该函数在实数集R上可导，求实数a、b的值和该函数的最小值．

难度：较易

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5．（2011•哈尔滨模拟）若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=
∫
x
0
f(t)dt，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有．
（1）F（x）是[0，1]上的增函数；
（2）F′（x）=f（x）；
（3）F（x）是[0，1]上的减函数；
（4）∃x₀∈[0，1]使得F（1）=f（x₀）．

难度：较难

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6．已知函f（x）是可导函数，且f′（a）=1，则
lim
x→a
f(x)-f(a)
2(x-a)
等于．

难度：中等

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7． f'（x₀）=2，求
lim
△x→0
f(x0-△x)-f(x0)
2△x
的值．

难度：中等

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8．若f′（x₀）存在，则
lim
△x→0
f(x0+△x)-f(x0-△x)
△x
= ．

难度：中等

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9．若f′（x₀）=1，则
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0-△x)
△x
= ．

难度：较易

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