知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，
π
2
）上不是凸函数的是．（把你认为正确的序号都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

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2．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1，则该函数的对称中心为，计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)= ．

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3．若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x₀∈（a，b），则当h无限趋近于0时，
f(x0+h)-f(x0-h)
h
无限趋近于．

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4．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：
①f（x）=3x+2；
②f（x）=x²-x+1；
③f（x）=ln（x+1）；
④f（x）=（x-
1
2
）³，
在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为    ．（写出所有满足条件的函数的序号）

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5．
【题文】（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）证明：对任意恒成立；
（3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在 “中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

难度：较难

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6．（2011•哈尔滨模拟）若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=
∫
x
0
f(t)dt，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有．
（1）F（x）是[0，1]上的增函数；
（2）F′（x）=f（x）；
（3）F（x）是[0，1]上的减函数；
（4）∃x₀∈[0，1]使得F（1）=f（x₀）．

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7．给出下列四个命题：
①函数y=f（x）在x=x₀处可导，则函数y=f（x）在x₀处连续；
②函数y=f（x）在x=x₀处的导数f（x₀）=0，则f（x₀）是函数y=f（x）的一个极值；
③函数y=f（x）在x=x₀处的导数不存在，则f（x₀）不是函数y=f（x）的一个极值；
④函数y=f（x）在x=x₀处连续，则函数在x=x₀处可导；
⑤函数y=f（x）在x=x₀处的左、右极限存在，则函数y=f（x）在x₀处连续；
其中正确的命题的序号是（请把所有正确命题的序号都填上）．

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