知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知首项为
3
2
的等比数列{a_n}不是递减数列，其前n项和为S_n（n∈N^*），且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹•n（n∈N^*），求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}是等比数列，a₃=4，且a₃是a₂+4与a₄+14的等差中项；数列{b_n}是等差数列，b₂=16，其前n项和T_n满足T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式及λ的值．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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4．在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，记数列{
1
anan+1
}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n，求证：S_n≤
1
3
；
（3）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得1、S_m、S_n成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m、n的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}是公比为正整数的等比数列，若a₂=2且a₁，a₃+
1
2
，a₄成等差数列，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）定义：
n
P1+P2+…+Pn
为n个正数P₁，P₂，P₃，…，P_n（ n∈N*）的“均倒数”，
（ⅰ）若数列{b_n}前n项的“均倒数”为
1
2an-1
（n∈N*），求数列{b_n}的通项b_n；
（ⅱ）试比较
1
b1
+
2
b2
+…+
n
bn
与2的大小，并说明理由．

难度：中等

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6．已知等比数列{a_n}的第一项是
9
8
，最后一项是
1
3
．且各项的和是
65
24
．
求：（1）这个等比数列的公比q；
（2）这个等比数列的通项公式．

难度：中等

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7．试求一个正数，使它的整数部分是小数部分和这个正数自身的等比中项．

难度：中等

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8．设{a_n}是公比为整数的等比数列，a₁=2，a₂=a₁+4．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知成等比数列的三个数的积为27，和为13，求这三个数．

难度：较易

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10．已知数列{a_n}，a_n=（
3
2
）^n-1（cos
n-1
4
π+isin
n-1
4
π），n∈N^*．
（1）数列{a_n}是否成等比数列？请说明理由；
（2）若{a_n}的各项与复平面内的点对应，试问，能否找到这样一项，使得这一项以后的所有项在复平面内对应的点都在圆x²+y²=
9
16
的内部？若能，求出此项，若不能，请说明理由；
（3）将数列{a_n}中的实数项按原顺序排成新数列{b_n}，其前n项和为S_n，求
lim
n→∞
S_n的值．

难度：中等

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