知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，c_n=
2
bnbn+1
，记数列{c_n}的前n项和为T_n．若对于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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2． △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量
m
=（cosA，cosB）与向量
n
=（a，2c-b）共线．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设等比数列{a_n}中，a₁cosA=1，a₄=16，记b_n=log₂a_n•log₂a_n+1，求{
1
bn
}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足an+Sn=An2+Bn+C（A≠0，n∈N^*）．
（1）当C=1时，
①设b_n=a_n-n，若a1=
3
2
，a2=
9
4
．求实数A，B的值，并判定数列{b_n}是否为等比数列；
②若数列{a_n}是等差数列，求
B-1
A
的值；
（2）当C=0时，若数列{a_n}是等差数列，a₁=1，且∀n∈N^*，λ-
3
n+1
≤
n
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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4．已知等差数列{a_n}、等比数列{b_n}满足a₁+a₂=a₃，b₁b₂=b₃，且a₃，a₂+b₁，a₁+b₂成等差数列，a₁，a₂，b₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{a_n}和数列{b_n}中取项：
第1次从数列{a_n}中取a₁，
第2次从数列{b_n}中取b₁，b₂，
第3次从数列{a_n}中取a₂，a₃，a₄，
第4次从数列{b_n}中取b₃，b₄，b₅，b₆，
…
第2n-1次从数列{a_n}中继续依次取2n-1个项，
第2n次从数列{b_n}中继续依次取2n个项，
…
由此构造数列{c_n}：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，a₄，b₃，b₄，b₅，b₆，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，b₁₂，…，记数列{c_n}的前n项和为S_n，求满足S_n＜2²⁰¹⁴的最大正整数n．

难度：较难

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5．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
a
=（
Sn
，1），
b
=（a_n+1，2）（n∈N^*）满足
a
∥
b
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为b_n=
an
an+t
（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（3）如果等比数列{c_n}满足c₁=a₁，公比q满足0＜q＜
1
2
，且对任意正整数k，c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是该数列中的某一项，求公比q的取值范围．

难度：较难

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6．在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：tan(k+1)•tank=
tan(k+1)-tank
tan1
-1，k∈N*．
（Ⅲ）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：较难

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7．设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-
π
2
，0），求tan2x；
（2）设△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，试求f（B）的取值范围．

难度：中等

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8．直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，则∠ADC等于．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足：a_n+2=4a_n+1-4a_n，且a₁=1，a₂=6．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成公比大于1等比数列，且sinB=
7
4
．
（1）求
1
tanA
+
1
tanB
的值；
（2）设
BA
•
BC
=
3
2
，求a+c的值．

难度：中等

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