知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），且
a
，
b
满足关系|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|（k为正数）．
（1）求
a
与
b
的数量积用k表示的解析式f（k）．
（2）
a
能否与
b
垂直？
a
能否与
b
平行？若不能，说明理由；若能，求出相应的k值．

难度：中等

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2．已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，x∈R，设f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数f（x）的解析式及单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

难度：中等

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3．已知向量
a
=（2cosx，-1），
b
=(
3
2
sinx，
1
2
cos2x)，x∈R，设函数f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在[0，
π
2
]上的最大值和最小值．

难度：中等

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4．如图，已知A（-4a，0）（a＞0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
3
CQ
．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，A′（4a，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．

难度：中等

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5．已知圆x²+y²=4的两弦AB，CD交于点P（
5
-1
2
，
5
+1
2
），且
AB
•
CD
=0，则|
AD
+
CB
|的值为．

难度：中等

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6．在△ABC中．
（1）|
AC
|=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，求
BD
•
AC
，
BA
•
AC
．
（2）如果（1）的条件下，△ABC中，PQ是以A为圆心，
2
为半径的圆的直径，求
BP
•
.
CQ
的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量
PQ
与
BC
的夹角．

难度：中等

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7．已知点O为三角形ABC内一点，
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，则
S△ABC
S△AOC
= ．

难度：中等

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8．已知A（1，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（Ⅰ）若|
OA
+
OC
|=
2+
3
（O为坐标原点），求
OB
与
OC
的夹角；
（Ⅱ）若
AC
⊥
BC
，求3sinα-cosα的值．

难度：中等

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9．（2015秋•台州期末）如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）若λ=
1
2
，用向量
OA
，
OB
表示
OP
；
（Ⅱ）若|
OA
|=4，|
OB
|=3，且∠AOB=60°，求
OP
•
AB
的取值范围．

难度：中等

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10．已知A（x₀，0），B（0，y₀）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足
OP
=2
OA
+
3
OB
．
（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l₁与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（Ⅲ）直线l₂：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l₂，使△ABE的面积为2
3
？若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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