知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．按照如下的规律构造数表：
第一行是：2；
第二行是：2+1，2+3：即3，5；
第三行是：3+1，3+3，5+1，5+3，即：4，6，6，8，
…
（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a_n；
2
3 5
4 6 6 8
5 7 7 9 7 9 9 11
…
（1）求a₃，a₄，a₅；
（2）试写出a_n+1与a_n的递推关系，并据此求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=
a3
a1a2
+
a4
a2a3
+…+
an+2
anan+1
（n∈N^*），求S_n和
lim
n→∞
S_n的值．

难度：中等

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2．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2016个圆中有个实心圆．

难度：中等

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3．已知f（x）=
x
ex
，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N．经计算f₁（x）=
1-x
ex
，f₂（x）=
x-2
ex
，f₃（x）=
3-x
ex
，…，照此规律．
（Ⅰ）请归纳出f_n（x）的表达式；
（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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4．已知：
1+
1
2
=
3
2

1+
1
2
+
1
3
+
1
4
＞2
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
＞
5
2

1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
9
+…+
1
16
＞3
…
以此类推，写出一般的结论并加以证明．

难度：中等

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5．数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+2²+…+2^n-1，…的前n项和S_n= ．

难度：中等

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6．对于下列数的排列：
2，3，4
3，4，5，6，7
4，5，6，7，8，9，10
…
写出并证明第n行所有数的和a_n与n的关系式．

难度：中等

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7．己知f（n）=

n+1

n+2

+…+

．则（　　）

A．f（n）中共有n项，当n=2时，f（2）=

B．f（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）=

C．f（n）中共有n²-n项，当n=2时，f（2）=

D．f（n）中共有n²-n+1项，当n=2时，f（2）=

难度：较易

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8．已知数列{a_n}满足a₁=1，
an
an+1
=
n
n+1
（n=1，2，3…）．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅，并猜想通项公式a_n．
（2）根据（1）中的猜想，有下面的数阵：
S₁=a₁
S₂=a₂+a₃
S₃=a₄+a₅+a₆
S₄=a₇+a₈+a₉+a₁₀
S₅=a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅
试求S₁，S₁+S₃，S₁+S₃+S₅，并猜想S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1的值．

难度：中等

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9．在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设b_k=
1
qk-1
．
（1）若d₁=2，求a₂的值；
（2）求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）若q₁=2，设c_n=
bn
bn+1
，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比数列，若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“○”：★○★○○★○○○★○○○○★○○○○○★…若以此规律继续打下去，则前2015个图形的“★”的个数是（　　）

A．60

B．61

C．62

D．63

难度：中等

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