知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．利用已学知识证明：
（1）sinθ+sinφ=2sin
θ+φ
2
cos
θ-φ
2
；
（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+
1
2
，求△ABC的面积．

难度：中等

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2．在△ABC中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若cosB+cosC=sinB+sinC，则△ABC为三角形．

难度：中等

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3．把cos3a+cos5a化为积的形式，其结果为．

难度：中等

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4．计算：sin69°-sin3°+sin39°-sin33°．

难度：中等

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5．证明和差化积公式：sinx+siny=2sin
x+y
2
cos
x-y
2
．

难度：较易

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6．证明：
（1）tan
α
2
=
sinα
1+cosα
=
1-cosα
sinα
．
（2）sinαcosβ=
1
2
[sin(α+β)+sin(α-β)]．
（3）cosα+cosβ=2cos
α+β
2
cos
α-β
2
．

难度：中等

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7．设
π
2
＞α＞β＞0，求证：α-β＞sinα-sinβ．

难度：中等

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8．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）求值：sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

难度：中等

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9．求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解的a．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=tgx，x∈（0，）．若x₁，x₂∈（0，），且x₁≠x₂，
证明[f（x₁）+f（x₂）]＞f（）

难度：中等

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