\((1)\)已知直线\(m\)过点\((2,4)\)且垂直于两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)，求直线\(m\)的方程．

\((2)\)若直线\(l\)过点\((2,4)\)且被两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)所截得的线段的中点在直线\(x+2y-3=0\)上，求直线\(l\)的方程。

求满足下列条件的直线方程．

\((1)\)过点\(P(-1,3)\)且平行于直线\(x-2y+3=0\)；

\((2)\)已知\(A(1,2)\)，\(B(3,1)\)，线段\(AB\)的垂直平分线．

在平面直角坐标系\(xoy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=-2+\dfrac{1}{2}t \\ & y=2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \end{cases}(t\)为参数\()\)，直线\(l\)曲线\(C:{{\left( y-2 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=1\)交于\(A,B\)两点．

\((1)\)求线段\(AB\)的长

\((2)\)以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点\(P\)的极坐标为\(\left( 2\sqrt{2},\dfrac{3\pi }{4} \right)\)，求点\(P\)到线段\(AB\)中点\(M\)的距离．

如图，在直角梯形\(ABCD\)中，\(AB\)\(/\!/\)\(CD\)，\(∠\)\(ADC\)\(=90^{\circ}\)，\(AB\)\(=3\)，\(AD=\sqrt{2}\)，\(E\)为\(BC\)中点，若\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\)，则\(\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BC}=\)      ．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\)的右顶点\(A(2,0)\)，且过点\((-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})\)

\((I)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((II)\)过点\(B(1,0)\)且斜率为\({{k}_{1}}\left( {{k}_{1}}\ne 0 \right)\)的直线\(l\)于椭圆\(C\)相交于\(E\)，\(F\)两点，直线\(AE\)，\(AF\)分别交直线\(x=3\)于\(M\)，\(N\)两点，线段\(MN\)的中点为\(P\)，记直线\(PB\)的斜率为\({{k}_{2}}\)，求证：\({{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}\)为定值．

\((1)\)求圆\(C\)\({\,\!}_{1}\)的圆心坐标；

\((2)\)求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程．

已知椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{8}+ \dfrac{{y}^{2}}{2}=1 \)经过点\(M\left( 2,1 \right)\)，\(O\)为坐标原点，平行于\(OM\)的直线\(l\)在\(y\)轴上的截距为\(3\)．

 \((1)\)判断直线\(l\)与椭圆的位置关系\((\)直接写出结论，不必证明\()\)；

\((2)\)若过点\(N\left( 1,1 \right)\)的直线\(m\)交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，且\(N\)是线段\(AB\)的中点，求直线\(m\)的方程；

\((3)\)若\(P\)为椭圆上的动点，求点\(P\)到直线\(l\)距离的最小值。

设\(F\)\((1,0)\)，点\(M\)在\(x\)轴上，点\(P\)在\(y\)轴上，且\(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MP}\)，\(\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PF}=0\)．

\((1)\)当点\(P\)在\(y\)轴上运动时，求点\(N\)的轨迹\(C\)的方程；

\((2)\)设\(A\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{1}\)，\(y\)\({\,\!}_{1})\)，\(B\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{2}\)，\(y\)\({\,\!}_{2})\)，\(D\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{3}\)，\(y\)\({\,\!}_{3})\)是曲线\(C\)上除去原点外的不同三点，且\(|\overrightarrow{AF}|\)，\(|\overrightarrow{BF}|\)，\(|\overrightarrow{DF}|\)成等差数列，当线段\(AD\)的垂直平分线与\(x\)轴交于点\(E\)\((3,0)\)时，求点\(B\)的坐标．