知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（1，
3
2
），离心率为
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，
1
3
），若cos∠APB=-
1
3
，求直线l的方程．

难度：中等

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3．（2015•上饶二模）如图，已知点S（-2，0）和圆O：x²+y²=4，ST是圆O的直经，从左到右M和N依次是ST的四等分点，P（异于S、T）是圆O上的动点，PD⊥ST，交ST于D，
PE
=λ
ED
，直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值．
（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于Q点、与轨迹E相交于A，B两点的直线，|
OQ
|=1，是否存在上述直线l，使
AQ
•
QB
=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（{a＞b＞0}）的离心率e=
2
2
，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（-1，-2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．试问k₁+k₂ 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

难度：较难

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5．双曲线
x2
9
-
y2
16
=1上一点P到它的一个焦点的距离等于9，那么点P到另一个焦点的距离等于．

难度：中等

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6．已知椭圆
x2
a2
+
y2
4
=1上一点到椭圆两焦点的距离之和为4
2
．
（Ⅰ）求a的值及椭圆的离心率；
（Ⅱ）顺次连结椭圆的顶点得到菱形A₁B₁A₂B₂，求该菱形的内切圆方程；
（Ⅲ）直线l与（Ⅱ）中的圆相切并交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围．

难度：较难

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7．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为
2
5
5
，该椭圆的离心率为
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点P(0，
5
3
)的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，有
PM
=2
PN
成立？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．若直线L：y=kx-2交抛物线y²=8x于A、B两点，且AB的中点为M（2，y₀），求y₀及弦AB的长．

难度：中等

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9．在直角坐标系xOy中，已知圆C过点A（0，0）和B（0，4）且与直线x+y-4=0相切，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1与圆C的一个焦点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探究：圆C上是否存在异于原点的点Q，使得点Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．已知椭圆M的中心原点O，点F（-1，0）是它的一个焦点，直线L过点F与椭圆M交于P、Q两点，当直线L的斜率不存在时，
OP
•
OQ
=
1
2
．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设A、B、C是椭圆M上的不同三点，且
OA
+
OB
+
OC
=0，证明直线AB与OC的斜率之积为定值．

难度：中等

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