\((2)\)已知向量\(\begin{bmatrix} 1 \\ \mathrm{{-}}1 \\ \end{bmatrix}\)是矩形\(A\)的属于特征值\(-1\)的一个特征向量\(.\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P(1,1)\)在矩阵\(A\)对应的变换作用下变为\(P{{'}}(3,3)\)，求矩阵\(A\)．

\((3)\)在极坐标系中，求直线\(θ=\dfrac{\pi}{4}(ρ∈R)\)被曲线\(ρ=4\sin θ\)所截得的弦长\(AB\)．

\((4)\)求函数\(y=3\sin x+2\sqrt{2{+}2\cos 2x}\)的最大值．

\((I)\)如图，圆\(O\)的弦\(AB\)，\(MN\)交于点\(C\)，且\(A\)为弧\(MN\)的中点，点\(D\)在弧\(BM\)上，\(∠ACN=3∠ADB\)，求\(∠ADB\)的大小．

\((II)\)已知矩阵\(A=\begin{bmatrix} a & 3 \\ 2 & d \\ \end{bmatrix}\)，若\(A\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ \end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的特征值．

\((III)\)在极坐标系中，已知点\(A\left( 2\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{2} \right)\)，点\(B\)在直线\(l:ρ\cos θ+ρ\sin θ=0(0\leqslant θ < 2π)\)上，当线段\(AB\)最短时，求点\(B\)的极坐标．

\((IV)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正实数，且\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{2}b^{2}c^{2}\)，求证：\(a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{3}\)．

【选做题】在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四小题中只能选做\(2\)题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，圆\(O\)的直径\(AB=6\)，\(C\)为圆周上一点，\(BC=3\)，过点\(C\)作圆的切线\(l\)，过\(A\)作\(l\)的垂线\(AD\)，\(AD\)分别与直线\(l\)，圆\(O\)交于点\(D\)，\(E\)，求\(∠DAC\)的大小和线段\(AE\)的长．

B. 选修\(4-2:\)矩阵与变换

已知二阶矩阵\(M\)有特征值\(λ=8\)及对应的一个特征向量\(e_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)，且矩阵\(M\)对应的变换将点\((-1,2)\)变换成点\((-2,4)\)．

\((1)\) 求矩阵\(M;\)

\((2)\) 求矩阵\(M\)的另一个特征值．

C. 选修\(4-4:\)坐标系与参数方程

已知圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程分别为\(ρ=2\)，\(ρ^{2}-2\sqrt{2}ρ\cos \left( \theta\mathrm{{-}}\dfrac{\pi}{4} \right)=2\)．

\((1)\) 把圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程化为直角坐标方程\(;\)

\((2)\) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

D. 选修\(4-5:\)不等式选讲

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，且\(a+b+c=3\)，求\(\sqrt{3a{+}1}+\sqrt{3b{+}1}+\sqrt{3c{+}1}\)的最大值．