知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵 $M%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%26%20a%20%5C%5C%20b%20%26%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．

难度：较易

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2．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M将点（-1，3）变换为（0，8）．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x+3y-2=0在M的作用下的新曲线方程．

难度：易

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3．已知变换T将平面上的点 $%281%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%EF%BC%8C%280%EF%BC%8C1%29$ 分别变换为点 $%28%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B4%7D%EF%BC%8C-2%29%EF%BC%8C%28-%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D%EF%BC%8C4%29$ ．设变换T对应的矩阵为M．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的特征值．

难度：易

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4．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%20a%20%5C%5C%20-1%20%26%20b%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Coverset%7B2%7D%7B1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，求实数a，b的值．

难度：易

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5．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%201%20%5C%5C%20b%20%26%200%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%205%20%5C%5C%209%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；
（2）计算A²⁰ $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ ．

难度：较易

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6．已知二阶矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%26%205%20%5C%5C%200%20%26%20-2%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，求A²⁰¹⁶ $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ ．

难度：较易

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7．已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若矩阵B=
1 -1
0 1
，求直线x+y+1=0先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程．

难度：较难

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8．已知矩阵A=
a b
c d
，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值-1的一个特征向量为α2=
1
-1
，则矩阵A= ．

难度：中等

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9．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及其对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Coverset%7B1%7D%7B1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M对应的变换将点A（-1，2）变换成A′（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在M^-1对应的变换作用下得到了直线m：x-y=6，求l的方程．

难度：易

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10．已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%20%26%20b%20%5C%5C%20c%20%26%20d%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为 $%CE%B1_%7B1%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%201%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，属于特征值-1的一个特征向量为 $%CE%B1_%7B2%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，则矩阵A= ______ ．

难度：较易

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