知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
a 2
-1 4
．A的一个特征值λ=2．
（1）求矩阵A；
（2）在平面直角坐标系中，点P（1，1）依次在矩阵A所对应的变换σ和关于x轴对称的反射变换γ的作用下得到点P′，写出复合变换γ•σ的变换公式，并求出点P′的坐标．

难度：较难

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2．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值
a
b
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足a_ij=
i+(j-i-1)n，    i＜j
i+(n-i+j-1)n，  i≥j
，当n=4时数表的“特征值”为    ．

难度：较难

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3．已知二阶矩阵M=
2 1
0 1
，求矩阵M特征值及特征向量．

难度：较难

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4．如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（
1
2
，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知矩阵A=
1 2
-1 4

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
-1
2
，求A⁵β

难度：中等

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6．已知二阶矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为
-1

3
，属于特征值7的一个特征向量为
1

1
．
①求矩阵A；
②求解方程A
x
y
=
7
14
．

难度：中等

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7．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
.
1
1
.
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．
（Ⅰ）求矩阵M．
（Ⅱ）求M的另一个特征值和其所对应的一个特征向量．

难度：中等

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8．已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M对应的变换下得到点P′（-4，0），如果正实数λ是矩阵M的特征值，α是对应的一个特征向量且|α|=2
13
，求向量λ的值与向量α．

难度：中等

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9．已知矩阵A=[
x 3
2 y
]，α=[
4
-1
]，且Aα=[
9
4
]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量
α1
，
α2
；
（3）计算A²⁰α．

难度：中等

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10．已知矩阵M=
1 2
0 3

（1）试求M的逆矩阵；
（2）求M的特征值及特征向量．

难度：较易

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