知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，
π
2
），B（2
2
，
π
4
）．
（1）求经过O，A，B的圆C₁的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C₂的参数方程为
x=-1+acosθ
y=-1+asinθ
（θ是参数），若圆C₁与圆C₂外切，求实数a的值．

难度：较难

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2．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[
π
2
，π]
（1）求半圆C₁的参数方程；
（2）设动点A在半圆C₁上，动线段OA的中点M的轨迹为C₂，点D在C₂上，C₂在点D处的切线与直线y=
3
x+2平行，求点D的直角坐标．

难度：中等

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3．在直角坐标系中，圆C₁的方程为x²+y²-4x-4y=0，圆C₂的参数方程
x=-1+acosα
y=-1+asinα.
（α是参数），若圆C₁与圆C₂相切，则实数a的值为．

难度：较易

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4．已知实数x、y满足x²+y²=1，则

2xy

x+y+1

的最小值为（　　）

A．-1-

B．-1+

C．1+

D．1-

难度：较难

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5．在平面直角坐标系XOY中，以原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=1，曲线C₂参数方程为
x=2+
5
cosθ
y=2+
5
sinθ
（θ是参数）．
（1）求曲线C₁和C₂的直角坐标系方程；
（2）若曲线C₁和C₂交于两点A、B，求|AB|的值．

难度：较难

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6．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为
x=1+2cost
y=-
3
+2sint
（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为2ρsin(θ-
π
6
)=m(m∈R)．
（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l被圆C截得的弦长为2
3
，求m的值．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为
x=2-3sinα
y=3cosα-2
（α为参数，α∈R），在极坐标系中（以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴），曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-
π
4
）=a．
（1）把曲线C₁和C₂的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线C₂上会有三个点到曲线C₂的距离为
3
2
，求C₂的直角坐标方程．

难度：较难

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8．设直线l的参数方程为
x=
3
2
+tsin
5π
6
y=-tcos
π
6
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=
6cosθ
sin2θ
．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

难度：较难

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9．已知过点A（1，0）的直线l与曲线C：
x=2+2cosα
y=1+2sinα
（α是参数）交于P，Q两点
（1）求直线PQ的参数方程
（2）求|AP|+|AQ|的最小值．

难度：中等

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10．已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+α=0与曲线
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ为参数），有且仅有一个公共点，则正实数a的值为．

难度：较难

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