知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设n是不小于2的正整数，求证：
4
7
＜1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
＜
2
2
．

难度：中等

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2．已知实数x，y，z满足x+y+z=1，则x²+y²+z²的最小值为．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m-2|x-4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m的最大值为a．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x²+3y²+6z²的最小值．

难度：中等

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4．已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，则a的取值范围是．

难度：中等

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5． a²+b²+c²+x²+y²=16
21
，求证：（ax+by）²+（bx+cy）²≤2016．

难度：中等

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6．若a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=2，求证：
a+1
+
b+1
+
c+1
＜4．

难度：中等

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7．已知a、b、c为正数，若a²+b²+4c²=1，求ab+2ac+3
2
bc的最大值．

难度：中等

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8．求函数f（x）=2
1-2x
+
4x+3
的最大值．

难度：中等

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9．已知x，y，z∈R₊，且x+y+z=1．
（1）若
x+1
+
y+1
+
z+1
=2
3
，求x，y，z的值．
（2）求证：
x
1+x
+
y
1+y
+
z
1+z
≤
3
4
．

难度：中等

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10．已知a₁，a₂，…，a_n∈R⁺，且a₁²+a₂²+…+a_n²=1（n∈N^*）．
（1）求证：a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n+a_na₁≤1；
（2）求证：a₁+a₂+…+a_n≤
n+1
2
．

难度：中等

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