知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． [选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足acos²θ+bsin²θ＜c，求证：
a
cos2θ+
b
sin2θ＜
c
．

难度：较难

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2．（选修4-5：不等式选讲）
若x∈(-
1
2
，
2
3
)，证明
1+2x
+
3+x
+
2-3x
＜3
2
．

难度：较难

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3．已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a²+4b²+9c²的最小值为．

难度：中等

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4．已知a，b，c∈R，则2a²+3b²+6c²=1是a+b+c∈[-1，1]的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

难度：中等

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5．已知函数f（x）=lnx+
1
x
-1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma-f（x_o）＜0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：ln²l+1n²2+…+ln²n＞
(n-1)4
4n3
(n≥2，n∈N*)．

难度：较难

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6．选修4-2：矩阵及其变换
（1）如图，向量
OA
和
OB
被矩阵M作用后分别变成
OA′
和
OB′
，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求y=sin(x+
π
3
)在M作用后的函数解析式；
选修4-4：坐标系与参数方程
（ 2）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（3，
5
），求|PA|+|PB|．
选修4-5：不等式选讲
（3）已知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

难度：较难

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7．选修4-5：不等式选讲
已知|x-2y|=5，求证：x²+y²≥5．

难度：较难

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8．（1）选修4-2：矩阵与变换
若二阶矩阵M满足M
1 2
3 4
=
7 10
4 6
．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x²+8xy+6y²=1上，求所得曲线的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=2tcosθ
y=2sinθ
（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-
π
4
)=2
2
．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
OA
•
OB
=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
≥2．

难度：较难

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9．设变量x，y满足|x-2|+|y-2|≤1，则

y-x

x+1

的最大值为（　　）

A．

B．

C．-

D．-

难度：较易

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10．（2008•上海）已知a₁，a₂，…，a_n；b₁，b₂，…，b_n（n是正整数），令L₁=b₁+b₂+…+b_n，L₂=b₂+b₃+…+b_n，…，L_n=b_n、某人用右图分析得到恒等式：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a₁L₁+c₂L₂+c₃L₃+…+c_kL_k+…+…+c_nL_n，则c_k= （2≤k≤n）．

难度：较难

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