知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）

难度：较难

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2．在平面直角坐标系xOy中，点P（x_P，y_P）和点Q（x_Q，y_Q）满足
xQ=xP+yP
yQ=-xP+yP
按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若
|
OP
|
|
OQ
|
=m，向量
OP
与
OQ
的夹角为θ，其中O为坐标原点，则msinθ的值为．

难度：较难

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3．设a，b，c是素数，记x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，当z²=y，
x
-
y
=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

难度：中等

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4．设函数f（x）=x²+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．
（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；
（2）已知随机函数Rand（　　）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（　　）和c=4*Rand（　　）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）

难度：中等

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5．定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）=（2-x），在区间[1，2]上是单调递减函数．关于函数f（x）有下列结论：
①图象关于直线x=1对称；②最小正周期是2；
③在区间[-2，-1]上是减函数；④在区间[-4，4]上的零点最多有5个．
其中正确的结论序号是．（把所有正确结论的序号都填上）

难度：较难

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6．已知对任意平面向量
AB
=(x，y)，将
AB
绕其起点沿顺时针方向旋转θ角得到向量
AP
=(xcosθ+ysinθ，-xsinθ+ycosθ)，叫做将点B绕点A沿顺时针方向旋转θ角得到点P．
（1）已知平面内点A（1，2），点B(1+
2
，2-2
2
)，将点B绕点A沿顺时针方向旋转
π
4
得到点P，求点P的坐标；
（2）设平面内曲线3x²+3y²+2xy=4上的每一点绕坐标原点O沿顺时针方向旋转
π
4
得到的点的轨迹是曲线C，求曲线C的方程；
（3）过（2）中曲线C的焦点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，当
OA
•
OB
=0时，求△AOB的面积．

难度：较难

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7．若S=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
1000000
，则S的整数部分是．

难度：较难

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8． n³+5n（n∈N^*）能被哪些自然数整除？

难度：中等

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