知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，半径为\(R=1\)的球\(O\)中有一内接圆柱，求圆柱的侧面积的最大值．

难度：较易

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2．
\((1)\)已知\(a\)与\(b\)为两个不共线的单位向量，\(k\)为实数，若向量\(a+b\)与向量\(ka-b\)垂直，则\(k=\)_____________．

\((2)\)若变量\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases} & 3\leqslant 2x+y\leqslant 9 \\ & 6\leqslant x-y\leqslant 9 \\ \end{cases}\)，则\(z=x+2y\)的最小值是_________．

\((3)\Delta ABC\)中，\(B=120{}^\circ ,AC=7,AB=5\)，则\(\Delta ABC\)的面积为_________．

\((4)\)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上\(.\)若圆锥底面面积是这个球面面积的\(\dfrac{3}{16}\)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

难度：难

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3．
己知在半径为\(2\)的球面上有\(ABCD\)四点，若\(AB=2\)，\(CD=2 \sqrt{3} \)，则四面体\(ABCD\)的体积的最大值为________．

难度：难

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4．

如图，正四棱锥\(P-ABCD\) 中底面边长为\(2\sqrt{2}\)，侧棱\(PA\)与底面\(ABCD\)所成角的正切值为\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)．

\((I)\)求正四棱锥\(P-ABCD\) 的外接球半径；

\((II)\)若\(E\) 是\(PB\) 中点，求异面直线\(PD\) 与\(AE\) 所成角的正切值．

难度：中等

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5．

已知\(A\)，\(B\)两地都位于北纬\(\dfrac{\pi }{4}\)，又分别位于东经\(\dfrac{\pi }{6}\)和\(\dfrac{\pi }{3}\)，设地球半径为\(R\)，求\(A\)，\(B\)两点间的球面距离．

难度：较易

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6．如图所示，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA⊥\)平面\(ABC\)，\(AB=BC=CA=3\)，\(M\)为\(AB\)的中点，四点\(P\)、\(A\)、\(M\)、\(C\)都在球\(O\)的球面上．
\((1)\)证明：平面\(PAB⊥\)平面\(PCM\)；
\((2)\)证明：线段\(PC\)的中点为球\(O\)的球心．

难度：较易

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7．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．
(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；
(2)证明：线段PC的中点为球O的球心．

难度：较易

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8．球的两个平行截面的面积分别为5π，8π两截面之间的距离为1，求球的半径．

难度：较易

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9．如图，△ABC外一点S，且SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AM⊥SB，AN⊥SC
（1）求证：SC⊥平面AMN；
（2）如果SA=AC=2，∠BSC=θ，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大，并求最大值．

难度：中等

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