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          共50条信息

            • 1．

              已知定义在区间\((0,+∞)\)上的函数\(f(x)\)满足\(f\left( \dfrac{x_{1}}{x_{2}} \right)=f(x_{1})-f(x_{2})\)，且当\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)，\(f(3)=1\)．

              \((1)\)判断\(f(x)\)的单调性\(;\)

              \((2)\)解关于\(x\)的不等式\(f(3x+6)+f\left( \dfrac{1}{x} \right) > 2;\)

              \((3)\)若\(f(x)\leqslant m^{2}-2am+1\)对所有\(x∈(0,3]\)，\(a∈[-1,1]\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

              难度：较易
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            • 2．

              若函数\(f (\)\(x\)\({\,\!}^{2}+1)\)的定义域为\([-1,1]\)，则\(f\) \((\lg \) \(x\)\()\)的定义域为(    )

              A．\([-1,1]\)
              B．\([1,2]\)
              C．\([10,100]\)
              D．\([0,\lg 2]\)
              难度：较易
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            • 3．
              已知\(f(3x)=2^{x}\log _{2}x\)，那么\(f(3)\)的值是 ______ ．
              难度：易
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            • 4．

              函数\(f(x)\)在\(({-∞}{,}{+∞})\)单调递减，且为奇函数，若\(f(1){=-}1\)，则满足\({-}1{\leqslant }f(x{-}2){\leqslant }1\)的\(x\)的取值范围是\(({  })\)


              A．\({[-}2{,}2{]}\)
              B．\({[-}1{,}1{]}\)
              C．\({[}0{,}4{]}\)
              D．\({[}1{,}3{]}\)
              难度：易
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            • 5． 已知集合\(M=\{f(x)|f^{2}(x)-f^{2}(y)=f(x+y)⋅f(x-y),x,y∈R\}\)，有下列命题
              \(①\)若\(f_{1}(x)= \begin{cases}1,x\geqslant 0 \\ -1,x < 0\end{cases}\)则\(f_{1}(x)∈M\)；
              \(②\)若\(f_{2}(x)=2x\)，则\(f_{2}(x)∈M\)；
              \(③\)若\(f_{3}(x)∈M\)，则\(y=f_{3}(x)\)的图象关于原点对称；
              \(④\)若\(f_{4}(x)∈M\)则对于任意不等的实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，总有\( \dfrac {f_{4}(x_{1})-f_{4}(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} < 0\)成立．
              其中所有正确命题的序号是 ______ ．
              难度：较难
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            • 6．

              已知 \(f(x)\) 是定义在 \((0,+∞)\) 上的单调递增函数\(.\)对于任意的正数 \(m\) ，\(n\) 满足 \(f(m)+f(n)=f(mn)\)；对于 \(0 < a < b\) 满足\(|f(a)|=|f(b)=2|f( \dfrac{a+b}{2})| \)．

              \((1)\)求 \(f(1)\)；

              \((2)\)若 \(f(2)=1\)，解不等式 \(f(x) < 2\)；

              \((3)\)求证：\(3 < b < 2+ \sqrt{2} \)．

              难度：难
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            • 7． 设函数\(y=f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的单调递减函数，并且同时满足下面两个条件：\(①\)对正数\(x\)，\(y\)都有\(f(xy)=f(x)+f(y)\)；\(②f( \dfrac {1}{2})=1\)．
              \((1)\)求\(f(1)\)和\(f(4)\)的值；
              \((2)\)求满足\(f(3+x)+f(3-x) > -2\)的\(x\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 8．

              已知函数\(f(x)\)满足\(f(x+2)=f(x)\)，且\(f(x)\)是偶函数，当\(x\in [-1,0]\)时，\(f(x)={{x}^{2}}\)，若在区间\([-1,3]\)内，函数\(g(x)=f(x)-{{\log }_{a}}(x+2)\)有\(4\)个零点，则实数\(a\)的取值范围是___________．

              难度：中等
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            • 9．

              已知函数\(y=f(x)\)的定义域为\((0,+∞)\)，当\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)，对任意的\(x\)，\(y∈(0,+∞)\)，\(f(x)+f(y)=f(x·y)\)成立，若数列\(\{{a}_{n}\} \)满足\(a_{1}=f(1)\)，且\(f({a}_{n+1})=f(2{a}_{n}+1)(n∈{N}^{*}) \)，则\(a^{2017}\)的值为(    )

              A．\({a}^{2014}-1 \)
              B．\({a}^{2015}-1 \)
              C．\({a}^{2016}-1 \)
              D．\({a}^{2017}-1 \)
              难度：较易
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            • 10． 设函数\(y=f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的函数，并且满足下面三个条件：
              \(①\)对任意正数\(x\)，\(y\)，都有\(f(xy)=f(x)+f(y)\)；
              \(②\)当\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)；
              \(③f(3)=1\)，
              \((1)\)求\(f(1)\)，\(f( \dfrac {1}{3})\)的值；
              \((2)\)判断函数\(f(x)\)在区间\((0,+∞)\)上单调性，并用定义给出证明；
              \((3)\)对于定义域内的任意实数\(x\)，\(f(kx)+f(4-x) < 2(k\)为常数，且\(k > 0)\)恒成立，求正实数\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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