知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函数f（x）=
k
x
（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；
（2）证明：函数f（x）=（
1
2
）^x+
3
8
x²∈M．

难度：中等

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2．已知函数y=f（x），x∈R，给出下列结论：
①若对于任意x₁，x₂且x₁≠x₂都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜0，则f（x）为R上的减函数；
②若f（x）为R上的偶函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（-2）=0则f（x）＞0的解集为（-2，2）；
③若f（x）为R上的奇函数，则y=f（x）-f（|x|）也是R上的奇函数；
④t为常数，若对任意的x都有f（x-t）=f（x+t），则f（x）的图象关于x=t对称．
其中所有正确的结论序号为．

难度：中等

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3．设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x），如果f(1)=lg
3
2
，f（2）=lg15，则 f（0）= ．

难度：较易

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4．已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1
（1）判断并证明f（x）的单调性；
（2）若f（4）=3，解不等式f（3m²-m-2）＜2．

难度：中等

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5．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足条件以下条件：f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（4）的值
（2）求证：f（8）=3．
（3）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

难度：中等

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6．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+
1
2
，且f（
1
2
）=0．给出以下结论：
①f（0）=-
1
2
；②f（-1）=-
3
2
；③f（x）为R上减函数；④f（x）+
1
2
为奇函数；
其中正确结论的序号是．

难度：较难

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7．设函数f（x）=x²-ax+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围
（Ⅱ）对任意x∈[-1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围．

难度：较难

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8．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＞0；
③f（3）=1，
（1）求f（1），f(
1
3
)的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；
（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4-x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f(1)=-
1
2
．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）当-8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x²-m）-2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．

难度：较难

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10．已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]上是增加的；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m-2am+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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