知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

．已知函数\(f\)\((\)\(x\)\()\)是定义在\((0,\)\(+\)\(∞\)\()\)上的单调函数，且对任意的正数\(x\)，\(y\)都有\(f\)\((\)\(xy\)\()\)\(=f\)\((\)\(x\)\()\)\(+f\)\((\)\(y\)\()\)．若数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(f\)\((\)\(S_{n}+\)\(2)\)\(-f\)\((\)\(a_{n}\)\()\)\(=f\)\((3)(\)\(n\)\(∈N\)\({\,\!}^{*}\)\()\)，则\(a_{n}\)等于\((\) \()\)

A．\(2\) \({\,\!}^{n-}\)\({\,\!}^{1}\)

B．\(n\)

C．\(2\) \(n-\)\(1\)

D．\({\left( \dfrac{3}{2}\right)}^{n-1} \)

难度：易

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3．

函数\(f\left(x\right) \)对任意实数\(x\)都满足条件\(f\left(x+2\right)f\left(x\right)=1 \)，若\(f\left(2\right)=2 \)，则\(f\left(2016\right)= (\) \()\)

A．\( \dfrac{1}{2} \)

B．\(2\)

C．\( \dfrac{1}{2016} \)

D．\(2016\)

难度：较易

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4．已知函数\(g(x)=ax^{2}-(a+1)x+1\)，\(f(x)\)是定义在\(R\)上的不恒为零的函数，且对于任意的\(x\)，\(y∈R\)都满足：\(f(xy)=xf(y)+yf(x)\)．
\((1)\)求不等式\(g(x) < 0\)的解集；
\((2)\)当\(a=1\)时，若 \(f(2)=g(2)+1\)，设\(a_{n}=f(2^{n})(n∈N^{*})\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((3)\)在\((2)\)的基础上，若\(b_{n}= \dfrac {n+2}{n+1}⋅ \dfrac {1}{a_{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}.\)求证：\(S_{n} < 1\)．

难度：较易

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5．

已知定义域为\(R\)的函数\(f(x)\)满足\(f(a+b)=f(a)⋅f(b)(a,b∈R)\)，且\(f(x) > 0.\)若\(f(1)= \dfrac {1}{3}\)，则\(f(-2)\)等于\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {1}{3}\)

B．\( \dfrac {1}{9}\)

C．\(3\)

D．\(9\)

难度：较难

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6．

\(10\)、已知函数

的定义域为

，当

时，

；当

时，

；当

时，

。则

\((\) \()\)

A．

B．

C．

D．

难度：中等

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7．已知定义域为\(R\)的函数\(f (x)\)对任意实数\(x\)，\(y\)满足\(f(x+y)+f(x-y)=2f (x)\cos y\)，且\(f(0)=0\)，\(f( \dfrac {\pi }{2})=1.\)给出下列结论：
\(①f( \dfrac {\pi }{4})= \dfrac {1}{2}\)
\(②f(x)\)为奇函数
\(③f(x)\)为周期函数
\(④f(x)\)在\((0,π)\)内为单调函数
其中正确的结论是____________\(.(\) 填上所有正确结论的序号\()\)．

难度：中等

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8．
设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(R\)，并且满足\(f(x-y)=f(x)-f(y)\)，且\(f(2)=1\)，当\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)．
\((1)\)求\(f(0)\)的值；
\((2)\)判断函数\(f(x)\)的单调性，并给出证明；
\((3)\)如果\(f(x)+f(x+2) < 2\)，求\(x\)的取值范围．

难度：较易

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9．
定义在\((0,+∞)\)上函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(y)=f(xy)\)，且当\(x > 1\)时，\(f(x) < 0\)，若不等式对任意\(x\)，\(y∈(0,+∞)\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是____________．

难度：较难

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10．
已知函数\(f(x)\)对任意实数\(x\)，\(y\)满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(1)\geqslant 2.\)若存在整数\(m\)，使得\(f(-2)-m^{2}-m+4=0\)，则\(m\)取值的集合为 ______ ．

难度：难

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