知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x₀∈D，使|f（x₀）﹣g（x₀）|≤1，则称x₀是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：
①f（x）=x² ， g（x）=2x﹣2；② $\text{[math]}$ ，g（x）=x+2；
③f（x）=e^﹣^x ， $\text{[math]}$ ；④f（x）=lnx，g（x）=x．
则在区间（0，+∞）上存在唯一“友好点”的是．（填上所有正确的序号）

难度：中等

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2．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）= $\text{[math]}$ ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x²﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．

难度：中等

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3．下列几个命题：
①函数y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是偶函数，但不是奇函数；
②方程x²+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
③f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2x²+x﹣1，则x≥0时，f（x）=﹣2x²+x+1
④函数y= $\text{[math]}$ 的值域是（﹣1， $\text{[math]}$ ）．
其中正确命题的序号有．

难度：中等

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4．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：
①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）²；③ $\text{[math]}$ ．
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．

难度：中等

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5．下列四组函数中，表示同一函数的是．
①y=
x2
与y=
3 x3
②y=1与y=x⁰
③y=2x+1与y=2t+1④y=x与y=(
x
)2．

难度：中等

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6．下列函数中与函数y=x是同一个函数
（1）y=(
x
)2；
（2）y=
3 x3
；
（3）y=
x2

（4）y=
x2
x
．

难度：中等

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7．已知四组函数：①y=
x2
-1与y=
3 x3
-1；②f（x）=x⁰与g(x)=
1
x0
；③y=
x2
|x|
与y=
t，t＞0
-t，t＜0
；④f（x）=2^x，D={0，1，2，3}与g(x)=
1
6
x3+
5
6
x+1，D={0，1，2，3}．表示同一函数的是．（写出所有符合要求的函数组的序号）

难度：中等

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8．下列结论：①函数y=
x2
和y=（
x
）²是同一函数；②函数f（x-1）的定义域为[1，2]，则函数f（3x²）的定义域为[0，
3
3
]；③函数y=log₂（x²+2x-3）的递增区间为（-1，+∞）；其中正确的个数．

难度：较难

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9．已知下列各组函数：
（1）f（x）=x，g（x）=（
x
）²；     （2）f（x）=
x2-9
x-3
，g（x）=x+3
（3）f（x）=πx²（x＞0），圆面积S关于圆半径r的函数；   （4）f（x）=
(
x
)4
x
，g（t）=（
t
t
）²．
其中表示同一函数的是第    组．

难度：较难

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10．函数f（x）的定义域是[0，3]，则函数y=
f(2x-1)
lg(2-x)
的定义域是．

难度：较易

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