知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a^ab^b＞a^bb^a．

难度：较难

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2．己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．
（1）求证：ab+bc+ac≤
4
3
；
（2）若a，b，c都小于1，求a²+b²+c²的取值范围．

难度：较难

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3．证明：
1
2
•
3
4
•
5
6
…
23
24
＜
1
5
．

难度：中等

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4．已知a＞b＞c，a+b+c=0，求证：
c
a-c
＞
c
b-c
．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2^x，x₁，x₂是任意实数，且x₁≠x₂，证明
1
2
[f（x₁）+f（x₂）]＞f（
x1+x2
2
）

难度：中等

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6．比较a⁴+5a²+7与（a²+2）²的大小．

难度：较易

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7．设a，b，c，d为正实数，且满足a²+b²+c²+d²=4．证明：a+b+c+d≥
2
3
（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

难度：中等

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8．已知n∈N^*，n＞1，n个实数a₁，a₂，…，a_n满足a₁+a₂+…+a_n=0，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1．求证：|a₁+2a₂+3a₃+…+n|a_n|≤
n-1
2
．

难度：中等

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9．正实数a₁（i=1，2，…，10）满足条件
10
i=1
a_i=30．求证：
10
i=1
（a_i-1）（a_i-2）（a_i-3）≥0．

难度：中等

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10．设a，b，c＞0，a+b+c=1，求证：
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
≤3
2
．

难度：较易

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