知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若x，y为实数，且x²+2xy-y²=7，则x²+y²的最小值为．

难度：中等

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2．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．
（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；
（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；
（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．

难度：较难

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3．设M=a+
1
a-2
（2＜a＜3），N=x(4
3
-3x)(0＜x＜
4
3
3
)，则M，N的大小关系为．

难度：中等

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4．已知等差数列{a_n}、等比数列{b_n}满足a₁+a₂=a₃，b₁b₂=b₃，且a₃，a₂+b₁，a₁+b₂成等差数列，a₁，a₂，b₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{a_n}和数列{b_n}中取项：
第1次从数列{a_n}中取a₁，
第2次从数列{b_n}中取b₁，b₂，
第3次从数列{a_n}中取a₂，a₃，a₄，
第4次从数列{b_n}中取b₃，b₄，b₅，b₆，
…
第2n-1次从数列{a_n}中继续依次取2n-1个项，
第2n次从数列{b_n}中继续依次取2n个项，
…
由此构造数列{c_n}：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，a₄，b₃，b₄，b₅，b₆，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，b₁₂，…，记数列{c_n}的前n项和为S_n，求满足S_n＜2²⁰¹⁴的最大正整数n．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-x²+2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=|x-m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]．
（1）求实数m的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a-2b+2c=m，求a²+b²+c²的最小值．

难度：较难

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7．如图，在平面四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点．若|EG|²-|HF|²=1，设|AD|=x，|BC|=y，|AB|=z，|CD|=1，则
2x+y
z2+8
的最大值是．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=x²+2cosx，x∈（0，π），π＞a＞b＞0，设m=f（
a2+b2
2
），n=f（
ab
），t=f（
a+b
2
），则m，n，t的大小关系为．

难度：中等

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9．若不等式（a-2）x²+2（a-2）x一4≥0对∀x∈R恒不成立，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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10．三个数学爱好者各自出题给对方做．
甲出的题目是：（1）证明不等式
x
1+x
＜ln（1+x）＜x，x＞0；
乙出的题目是：（2）在数列{a_n}中，已知a₁=
1
2
，且
anan-1
an-1-an
=1+
1
n2-n-1
，求数列{a_n}的通项公式a_n；
丙看完后出的题目是：在（2）中，设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：-1+lnn＜S_n≤
1
2
+lnn．

难度：中等

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