知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n={x|x=
a
b
，a∈En，b∈En}．若集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②∀x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω．
如当n=2时，E₂={1，2}，P₂={1，2，
1
2
，
2
2
}．∀x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断P₃是否具有性质Ω．
（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

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2．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（-x）=-h（x）}设函数f（x）=
-2x+a
2x+1+b
（a，b为常数）．
（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；
（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．

难度：较难

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3．若X是一个集合，т是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于т，∅属于т；②т中任意多个元素的并集属于т；③т中任意多个元素的交集属于т．则称т是集合X上的一个拓扑．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不大于x的最大整数，当x∈（0，n]，n∈N^*时，函数f（x）值域为集合A_n，则集合A₂上的含有4个元素的拓扑т的个数为．

难度：较易

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4．非空集合S⊆N^*，且满足条件“x∈S，则（10-x）∈S”，则集合S的所有元素之和的总和为．

难度：较难

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5． i是虚数单位元，若集合S={-1，0，1}，则（　　）

A．i³∈S

B．i⁶∈S

C．（-

i）³⊆S

D．{（-

i）²}⊆S

难度：较易

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6．如果A={x|x＞-1}，那么下列表示正确的是（　　）

A．0⊆A

B．{0}∈A

C．∅∈A

D．{0}⊆A

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7．已知集合A={x∈R|x²-3x+2≤0}，B={x∈R|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＜1

B．a＜2

C．a≤1

D．a≤2

难度：较易

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8．已知全集U=R，集合M={x|x＞2}，N={x|
1
2
＜log₂x＜2}，P={x|x≤a-1}．
（1）求N∩（∁_UM）；
（2）若N⊆P，求实数a的取值范围．

难度：较易

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9．设集合A={x|-1≤x＜3}，B={x|2x-4≥x≥x-2}，C={x|2x+a＞0}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若满足B⊆C，求实数a的取值范围．

难度：较易

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10．已知集合A={x|a-1＜x＜a+1，x∈R}，B={x|1＜x＜5，x∈R}．
（1）若a=1，求A∩B；
（2）若A⊆A∩B，求a的取值范围．

难度：较易

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