知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

难度：较易

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3．已知函数f（x）=lnx．
（1）若直线y=
1
2
x+m是曲线y=f（x）的切线，求m的值；
（2）若直线y=ax+b是曲线y=f（x）的切线，求ab的最大值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），是曲线y=f（x）上相异三点，其中0＜x₁＜x₂＜x₃，求证：
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＞
f(x3)-f(x2)
x3-x2
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=xlnx（x＞0）
（1）试求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g（x）=f′（x），直线y=kx+b与曲线g（x）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不同两点，若x₀=
x1+x2
2
试证明k＞g′（x₀）

难度：较难

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5．我们把y=x^m（m∈Q）叫做幂函数．幂函数y=x^m（m∈Q）的一个性质是：当m＞0时，在（0，+∞）上是增函数；当m＜0时，在（0，+∞）上是减函数．设幂函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N）．
（1）若g_n（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），证明：
an
2n-1
≤gn(x)＜an
（2）若g_n（x）=f（x）-f（x-a），对任意n≥a＞0，证明：g_n′（n）≥n!a．

难度：较难

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6．根据导数的几何意义，求函数y=
4-x2
在x=1处的导数．

难度：中等

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7．一块岩石在月球表面上以24m/s的速度垂直上抛，t s时达到的高度是s=24t-0.8t²．（用导数方法解答）
（1）求岩石在t时刻的速度和加速度；
（2）多少时间后岩石到达其最高点？

难度：中等

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8．求函数y=（2x-1）²在x=3处的导数．

难度：较易

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9．如果在某个区间内恒有f′（x）=0，那么函数f（x）有什么特性？

难度：较易

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10．已知曲线y=cos（ωx+
π
3
）在点（
π
2
，0）处切线斜率为k，若|k|＜1，求ω．

难度：中等

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