知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知函数$f(x)={{x}^{2}}\ln x-2x$．

$($Ⅰ$)$求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；

$($Ⅱ$)$求证：存在唯一的${{x}_{0}}\in (1,2)$，使得曲线$y=f(x)$在点$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$处的切线的斜率为$f(2)-f(1)$；

$($Ⅲ$)$比较$f(1.01)$与$-2.01$的大小，并加以证明．

难度：较难

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2．已知函数 $%CF%86%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%2B1%7D$ ，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且 $a%3D%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7D$ ，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有 $%20%5Cfrac%20%7Bg%28x_%7B2%7D%29-g%28x_%7B1%7D%29%7D%7Bx_%7B2%7D-x_%7B1%7D%7D%EF%BC%9C-1$ ，求a的取值范围．

难度：较难

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3．
已知函数$f(x)=xe^{x}(e$为自然对数的底$)$．
$(1)$求函数$f(x)$的单调递增区间；
$(2)$求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程．

难度：中等

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4．
已知函数$f(x)=x^{3}+(1-a)$ $x^{2}-a(a+2)x+b(a,b∈R)$．
$($Ⅰ$)$若函数$f(x)$的图象过原点，且在原点处的切线斜率是$-3$，求$a$，$b$的值；
$($Ⅱ$)$若函数$f(x)$在区间$(-1,1)$上不单调，求$a$的取值范围．

难度：中等

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5．
曲线$y= \dfrac {1}{x}$在$x=2$处的切线的斜率为 ______ ．

难度：较易

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6．
已知函数$φ(x)= \dfrac {a}{x+1}$，$a$为正常数．
$(1)$若$f(x)=\ln x+φ(x)$，且$a= \dfrac {9}{2}$，求函数$f(x)$的单调增区间；
$(2)$若$g(x)=|\ln x|+φ(x)$，且对任意$x_{1}$，$x_{2}∈(0,2]$，$x_{1}\neq x_{2}$，都有$ \dfrac {g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} < -1$，求$a$的取值范围．

难度：较难

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7．水以20米³/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，求a；
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数 $f%28x%29%3Dax%5E%7B3%7D-3x%5E%7B2%7D%2B1-%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Ba%7D$ ．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

难度：较易

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10．已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为M，对任意[a，b]⊆M，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立，求证：方程f（x）=x存在唯一的实数根α；
（Ⅱ）求证：当x＞α时，总有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）对任意x₁、x₂，若满足|x₁-α|＜2，|x₂-α|＜2，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

难度：较易

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