知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=f'（1）e^x^﹣¹﹣f（0）x+ $\text{[math]}$ 的导数，e为自然对数的底数）g（x）= $\text{[math]}$ +ax+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）求f（x）的解析式及极值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求 $\text{[math]}$ 的最大值．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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3．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=lnx+ax²．
（Ⅰ）记m（x）=f′（x），若m′（1）=3，求实数a的值；
（Ⅱ已知函数g（x）=f（x）-ax²+ax，若g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2x³+bx²+cx，其导函数y=f′（x）的图象（如图所示）经过点（1，0），（2，0）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0恰有2个根，求m的值．

难度：中等

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6．求函数y=sin²（2x+
π
3
）的导数．

难度：中等

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7．证明下列命题：
（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；
（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．

难度：中等

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8．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀）为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀）对称．
己知y=f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）

难度：较难

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9．已知函数f(x)=ax3+
b
x2-a2x(a＞0)，存在实数x₁，x₂满足下列条件：①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0；③|x₁|+|x₂|=2
（1）证明：0＜a≤3；（2）求b的取值范围；
（3）若函数h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），证明：当x₁＜x＜2时|h（x₁）|≤12a．

难度：较难

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10．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求由曲线y=f（x）、直线x=-1、直线x=0以及直线y=0围成的曲边梯形面
（Ⅲ）求由曲线段y=f（x）（0≤x≤1）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

难度：中等

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