知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．过点A（1，1）与曲线C：y=x³相切的直线方程是．

难度：中等

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2．设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）的图象过点P（-1，2）且在P处的切线与直线x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，试求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0且f（x）在区间（-∞，m）及（n，+∞）上均为增函数，试证：n-m＞1．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=
3
a
x3-x(a＞0)在点（x₁，f（x₁））处的切线在x轴上的截距为x₂，则当x1＞
a
3
时，
x2
x1
的取值范围是．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．曲线y=x³+x-10在某点处的切线平行于直线4x-y+3=0，则切线方程为．

难度：中等

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7．设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

难度：中等

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8．曲线y=x²上点A处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则点A处的切线方程为．

难度：中等

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9．（附加题）（Ⅰ）过曲线y=x²（x≥0）上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为
1
12
，试求：
（1）切点A的坐标；
（2）过切点A的切线l的方程；
（3）上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
（1）求a、b、c、d、e的值，并写出函数f（x）的表达式；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）总成立，求实数t的取值范围．

难度：较难

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