知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
1
2
x2-2ax+1+lnx
（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x₁，证明：x₁lnx₁-ax₁²＞-1．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=-x³-mx+
2
2
（m＜0），g（x）=-e^-x-1+1（其中e为自然对数的底数）．
（1）当实数m为何值时，直线y=2x+
2
2
与曲线y=f（x）相切；
（2）记函数h（x）=
f(x)，(f(x)≤g(x))
g(x)，(g(x)＜f(x))
x∈R，当m＞-1-
2
2
时，试讨论函数h（x）的零点个数．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）证明：|f（x）|＞
lnx
x
；
（3）设m＞n＞0，比较
f(m)+m-[f(n)+n]
m-n
与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x³-mx，直线l₁∥l₂，l₁与函数f（x）图象切于点A、交于点B，l₂与函数f（x）图象切于点C、交于点D．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若四边形ABCD为矩形，求m的取值范围；
（3）若四边形ABCD为正方形，求m的值．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=ax²+blnx+c（a，b，c∈R）的图象在点（e，1）处的切线过原点．
（1）若a=1，证明f（x）-lnx＞0；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）≤kx+m≤xf（x），求k，m的值．

难度：中等

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6．函数f（x）=λx（1-x）（λ＞0，x∈[0，1]）称为逻辑斯蒂克函数，此函数也是动物繁衍的数学模型，今有λ=4．
（1）求函数F（x）=[f（x）]²在[
1
4
，
3
4
]上的最值；
（2）在函数g（x）=
f(tanx)
tanx
图象的所有切线中，是否存在切线l与直线m：（a+b）x-8
ab
y+12=0（ab＞0）垂直？请说明你的理由．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且存在x＞0，使得k＞
f(x+1)
x
成立，求k的最小值．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）如果方程f（x）=0总有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=
ax
ex+1
+
1
ex
，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y-3=0平行．
（1）求实数a的值；
（2）∀x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）＞
x
ex-1
+
k
ex
，求实数k的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y-1=0垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）=f（x）+2x²-x-2，且当x∈（
1
e2
，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m-3e恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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