知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r，高为h，体积为16π立方米，且h≥2r．已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为y千元．
（1）求y关于r的函数表达式，并求出函数的定义域；
（2）问r为多少时，该容器建造总费用最小？

难度：较易

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2．某工厂每日生产某种产品x（x≥1）吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当1≤x≤20时，每日的销售额y（单位：万元）与当日的产量x满足y=alnx+b，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况．已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元．
（1）把每日销售额y表示为日产量x的函数；
（2）若每日的生产成本 $c%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%2B1$ （单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．（注：计算时取ln2=0.7，ln5=1.6）

难度：较易

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3．甲、乙两地准备开通全线长1750km的高铁．已知运行中高铁每小时所需的能源费用W（万元）和速度V（km/h）的立方成正比，当速度为100km/h时，能源费用是每小时0.06万元，其余费用（与速度无关）是每小时3.24万元，已知最大速度不超过C（km/h）（C为常数，0＜C≤400）．
（1）求高铁运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系；
（2）当高铁速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？

难度：较易

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4．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为3万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7B3x%2B5%7D$ （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为4万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式．
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

难度：较易

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5．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= $%20%5Cfrac%20%7B%5Ctext%7B%E8%B4%AD%E5%9C%B0%E6%80%BB%E8%B4%B9%E7%94%A8%7D%7D%7B%5Ctext%7B%E5%BB%BA%E7%AD%91%E6%80%BB%E9%9D%A2%E7%A7%AF%7D%7D$ ）

难度：较易

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6．已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的 $x%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ ，f（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+e^x•cosx， $x%E2%88%88%5B-%20%5Cfrac%20%7B2015%CF%80%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B2017%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ ．过点 $M%28%20%5Cfrac%20%7B%CF%80-1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C0%29$ 作函数F（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和S的值．

难度：中等

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7．已知函数 $f%28x%29%3Dlnx-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4x%7D-1$ ．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=-x²+2bx-4，（1≤b≤2），若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

难度：较易

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8．某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dln%282x%2B1%29$ 万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dln%282x%2B1%29-mx$ 万美元．
（1）若某时段的美元贬值指数 $m%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B200%7D$ ，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B20%7Dx$ 万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知 $%28ln%282x%2B1%29%29%E2%80%B2%3D%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B2x%2B1%7D$ ）．

难度：较易

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9．现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00%，不考虑焊接处损失．
方案一：如图（1），从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图（2），若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼？．

难度：较易

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10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=x³+（m+1）x²+mx（m为常数）．
（1）求f（x）在点M（-2，f（-2））处的切线方程；
（2）求过点P（-1，0）的曲线C的切线方程；
（3）证明：过点N（2，1）可以作曲线f（x）的三条切线；
（4）假设a＞0，如果过点（a，b）可以作曲线C的三条切线，证明-a＜b＜f（a）

难度：难

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