知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义函数f（x）如下：对于实数x，如果存在整数m，使得|x-m|＜
1
2
，则f（x）=m，已知等比数列{a_n}的首项a₁=1，且f（a₂）+f（a₃）=2，则公比q的取值范围是．

难度：中等

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2．若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=9，且a_n+1=a

2
n
+2a_n，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n．
（Ⅲ）在（2）的条件下，记b_n=
lgTn
lg(an+1)
，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞4030的n的最小值．

难度：中等

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3．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，a²，b²，c²成等差数列，则三边a，b，c的关系为．

难度：较易

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4．设{a_n}是公比不为1的等比数列，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比；
（2）若a₄+a₅＜a₃a₄＜a₂+a₃，求a₁的取值范围．

难度：较易

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5．设数列{a_n}的各项为正数，且a₁，2²，a₂，2⁴，…，a_n，2²ⁿ，…成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若S_k≥30（2^k+1），求正整数k的最小值．

难度：中等

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6．已知各项均为正数的数列{a_n}的首项a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=
1
2
a_na_n+1，则
3
34
S₁₂= ．

难度：中等

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7．已知各项互不相等的等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，若a₃，2a₂，S₃成等差数列，且a₁=3，则q= ，S_n= ．

难度：较易

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8．已知公比q不为1的等比数列{a_n}的首项a₁=
1
2
，前n项和为S_n，且a₂+S₂，a₃+S₃，a₄+S₄成等差数列，则q= ，S₆= ．

难度：中等

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9．已知等比数列{a_n}为递增数列，其前n项和为S_n，若a₃=8，S₃=
∫
2
0
（4x+3）dx，则公比q= ．

难度：中等

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10．已知等差数列{a_n}的首项为1，等比数列{b_n}的前两项为a₂，a₅且公比为3，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{b_n}的前n项和为B_n．
（I）求A_n，B_n；
（Ⅱ）如果
an
An
≥
bn
Bn
，试求所有正整数n的值．

难度：中等

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