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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0（n≥2），a1=1，
              （1）求证数列数列{
              1
              Sn
              }              是等差数列
              （2）求an．
              难度：中等
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            • 2． 已知数列{an}、{bn}满足：an+1=an+1，bn+1=bn+
              1
              2
              an              ，cn=an2-4bn，n∈N*：
              （1）若a1=1，b1=0，求数列{an}、{bn}的通项公式：
              （2）证明：数列{cn}是等差数列：
              （3）定义fn（x）=x2+anx+bn，证明：若存在K∈N*，使得ak、bk为整数，且fk（x）有两个整数零点，则必有无穷多个fn（x）有两个整数零点：
              难度：中等
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            • 3． 数列{an}中，a1=1，an+1=
              2an
              2+an
              （n∈N*）．
              （1）求a2，a3，a4，猜想数列{an}的通项公式；
              （2）根据（1）中的猜想，用三段论证明数列{
              1
              an
              }              是等差数列．
              难度：较易
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            • 4． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且对任意的正整数n，都有Sn+1=λSn+3n+1，其中常数λ＞0．设bn=
              an
              3n
              （n∈N*）﹒
              （1）若λ=3，求数列{bn}的通项公式；
              （2）若λ≠1且λ≠3，设cn=an+
              2
              λ-3
              ×3n              （n∈N*），证明数列{cn}是等比数列；
              （3）若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．
              难度：较难
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            • 5． 已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）若bn=
              1
              (n+1)an
              ，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在实数m，使得Sn＜m对于任意的n∈N+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．
              难度：中等
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            • 6． 已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设bn=an•log2an，其前n项和为Sn，若（n-1）2≤m（Sn-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
              难度：中等
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            • 7． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an≠0，anan+1=pSn+2，其中p为常数．
              （1）证明：an+2-an=p；
              （2）是否存在p，使得|an|为等差数列？并说明理由．
              难度：中等
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            • 8． 按照如下的规律构造数表：
              第一行是：2；
              第二行是：2+1，2+3：即3，5；
              第三行是：3+1，3+3，5+1，5+3，即：4，6，6，8，
              …
              （即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为an；
              2
              3 5
              4 6 6 8
              5 7 7 9 7 9 9 11
              …
              （1）求a3，a4，a5；
              （2）试写出an+1与an的递推关系，并据此求出数列{an}的通项公式；
              （3）设Sn=
              a3
              a1a2
              +
              a4
              a2a3
              +…+
              an+2
              anan+1
              （n∈N*），求Sn和
              lim
              n→∞
              Sn的值．
              难度：中等
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            • 9． 已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=2Sn+a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
              （Ⅱ）证明
              1
              a1
              +
              1
              a2
              +
              1
              a3
              +…+
              1
              an
              ＜
              3
              2
              对任意正整n成立．
              难度：中等
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            • 10． 数列{an}，{bn}满足
              an+1=
              1
              2
              an+
              1
              2
              bn
              1
              bn+1
              =
              1
              2
              •
              1
              an
              +
              1
              2
              •
              1
              bn
              ，a1＞0，b1＞0；
              （1）求证：{an•bn}是常数列；
              （2）若{an}是递减数列，求a1与b1的关系；
              （3）设a1=4，b1=1，cn=log3
              an+2
              an-2
              ，求{cn}的通项公式．
              难度：中等
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