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          共50条信息

            • 1． 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”．某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%．每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营．如此每月循环继续．
              （1）问到2015年年底（按照12个月计算），该创客有余款多少元？（结果保留至整数元）
              （2）如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年（12个月）能否还清银行贷款？
              难度：中等
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            • 2． 对于数列{an}，称P(ak)=
              1
              k-1
              (|a1-a2|+|a2-a3|+…+|ak-1-ak|)              （其中k≥2，k∈N）为数列{an}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（ak+1）＜P（ak），则称数列{an}为“趋稳数列”．
              （1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；
              （2）若各项均为正数的等比数列{bn}的公比q∈（0，1），求证：{bn}是“趋稳数列”；
              （3）已知数列{an}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为Sk．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（Sk）=2P（ak），试计算：
              C
              2
              n
              P(a2)+2
              C
              3
              n
              P(a3)+…+(n-1)
              C
              n
              n
              P(an)              （n≥2，n∈N）．
              难度：较难
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            • 3． 已知数列{an}的通项公式为an=-8（
              1
              8
              ）n+9（
              1
              4
              ）n-3（
              1
              2
              ）n（其中n∈N*），若第m项是数列{an}中的最小项，则am=    ．
              难度：较易
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            • 4． 已知f（x）=（a-ln x）x-1．
              （I）不等式f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
              （Ⅱ）已知正项数列{an}满足a1=e，an+1=
              an-1
              lnan
              ，求证：an＞e 
              1
              2n
              ．
              难度：较难
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            • 5． 已知函数f（x）=log2x，g（x）=x2+2x，数列{an}的前n项和记为Sn，bn为数列{bn}的通项，n∈N*．点（bn，n）和（n，Sn）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．
              （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
              （2）令Cn=
              1
              an•f(b2n-1)
              ，求数列{Cn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 6． 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an-1，其中n∈N*．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设anbn=
              3n
              n2+n
              ，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜c2-2c对n∈N*恒成立，求实数c的取值范围．
              难度：中等
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            • 7． 已知fn(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且fn(-1)=(-1)n•n，n=1，2，3，…
              （Ⅰ）求a1，a2，a3；
              （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅲ）当k＞7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有
              2
              an+1
              +
              2
              an+1+1
              +
              2
              an+2+1
              +…+
              2
              ank-1+1
              ＞
              3
              2
              成立．
              难度：较难
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            • 8． 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足f（Sn+2）-f（an）=f（3）（n∈N*），则a6=（　　）
              A．
              1
              2
              ×(
              3
              2
              )6
              B．
              1
              2
              ×(
              3
              2
              )5
              C．(
              3
              2
              )5
              D．(
              3
              2
              )6
              难度：较难
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            • 9． 二次函数f（x）的图象过原点，且对∀x∈R，恒有-3x2-1≤f（x）≤6x+2．设数列{an}满足a1=
              1
              3
              ，an+1=f（an）
              （I）求函数f（x）的表达式；
              （Ⅱ）证明：an+1＞an；
              （Ⅲ）证明：
              n
              2
              -
              1
              4
              ≤a1+a2+…+an＜
              n
              2
              （n∈N+）
              难度：中等
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            • 10． 已知数列{an}的通项公式为an=1g（
              		n2+1
              -n），判断数列{an}是否为单调数列，如是，请说明{an}的单调性；如不是，请说明理由．
              难度：较易
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