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          共50条信息

            • 1．
              设\(\triangle A_{n}B_{n}C_{n}\)的三边长分别是\(a_{n}\)，\(b_{n}\)，\(c_{n}\)，\(\triangle A_{n}B_{n}C_{n}\)的面积为\(S_{n}\)，\(n∈N^{*}\)，若\(b_{1} > c_{1}\)，\(b_{1}+c_{1}=2a_{1}\)，\(b_{n+1}= \dfrac {a_{n}+c_{n}}{2},c_{n+1}= \dfrac {a_{n}+b_{n}}{2}\)，则\((\)　　\()\)
              A．\(\{S_{n}\}\)为递减数列
              B．\(\{S_{n}\}\)为递增数列
              C．\(\{S_{2n-1}\}\)为递增数列，\(\{S_{2n}\}\)为递减数列
              D．\(\{S_{2n-1}\}\)为递减数列，\(\{S_{2n}\}\)为递增数列
              难度：中等
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            • 2．
              已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)是奇函数且满足，\(f( \dfrac {3}{2}-x)=f(x)\)，\(f(-2)=-3\)，数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=-1\)，且\(S_{n}=2a_{n}+n\)，\((\)其中\(S_{n}\)为\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\().\)则\(f(a_{5})+f(a_{6})=(\)　　\()\)
              A．\(3\)
              B．\(-2\)
              C．\(-3\)
              D．\(2\)
              难度：难
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{a_{n}+2}(n∈N^{*})\)若\(b_{n+1}=(n-2λ)\cdot ( \dfrac {1}{a_{n}}+1)(n∈N^{*})\)，\(b_{1}=- \dfrac {3}{2}λ\)，且数列\(\{b_{n}\}\)是单调递增数列，则实数\(λ\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\(λ < \dfrac {4}{5}\)
              B．\(λ < 1\)
              C．\(λ < \dfrac {3}{2}\)
              D．\(λ < \dfrac {2}{3}\)
              难度：中等
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}-2(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n+1}=2b_{n}-2^{n+1}\)，\(b_{1}=8\)，\(T_{n}\)是数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求正整数\(k\)，使得对任意\(n∈N^{*}\)均有\(T_{k}\geqslant T_{n}\)恒成立；
              \((3)\)设\(c_{n}= \dfrac {a_{\;n\;+\;1}}{(1+a_{n})(1+a_{\;n\;+\;1})}\)，\(R_{n}\)是数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和，若对任意\(n∈N^{*}\)均有\(R_{n} < λ\)恒成立，求\(λ\)的最小值．
              难度：较易
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            • 5．

              定义：称\(\dfrac{n}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}+...+{{P}_{n}}}\)为\(n\)个正数\(P_{1}\)，\(P_{2}\)，\(…P_{n}\)的“均倒数”，已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的“均倒数”为\(\dfrac{1}{n+2}\)．

              \((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{3}^{n}}}\)，试判断并说明数列\(\{c_{n}\}\)的单调性；

              \((3)\)求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：中等
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            • 6．

              已知等差数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的首项\({{a}_{1}}=\dfrac{1}{2}\)，前三项和为\(\dfrac{9}{2}\)，点\(P_{n}\)\((\)\(a_{n}\)，\(b_{n}\)\()(\)\(n\)\(∈N^{*})\)在函数\(y\)\(=\log _{3}2\)\(x\)的图象上．

              \((1)\)求数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)和\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)的通项公式；

              \((2)\)若\({{c}_{n}}={{3}^{{{b}_{n}}}}+{{2}^{n}}\)，求数列\(\{\)\(c_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

              难度：中等
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            • 7．
              设数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=n^{2}+bn\)，若数列\(\{a_{n}\}\)是单调递增数列，则实数\(b\)的取值范围为 ______ ．
              难度：难
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            • 8．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)为等比数列，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(a_{1}+a_{4}=- \dfrac {7}{16}\)，且对于任意的\(n∈N^{*}\)有\(S_{n}\)，\(S_{n+2}\)，\(S_{n+1}\)成等差数列；
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)已知\(b_{n}=n(n∈N_{+})\)，记\(T_{n}=| \dfrac {b_{1}}{a_{1}}|+| \dfrac {b_{2}}{a_{2}}|+| \dfrac {b_{3}}{a_{3}}|+…+| \dfrac {b_{n}}{a_{n}}|\)，若\((n-1)^{2}\leqslant m(T_{n}-n-1)\)对于\(n\geqslant 2\)恒成立，求实数\(m\)的范围．
              难度：较易
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            • 9．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}-2(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\( \dfrac {1}{a_{n}}= \dfrac {b_{1}}{2+1}- \dfrac {b_{2}}{2^{2}+1}+ \dfrac {b_{3}}{2^{3}+1}-…+(-1)^{n+1} \dfrac {b_{n}}{2^{n}+1}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((3)\)在\((2)\)的条件下，设\(c_{n}=2^{n}+λb_{n}\)，问是否存在实数\(λ\)使得数列\(\{c_{n}\}(n∈N^{*})\)是单调递增数列？若存在，求出\(λ\)的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
              难度：中等
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            • 10．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(1\)，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且满足\(S_{n+1}=qS_{n}+1\)，其中\(q > 0\)，\(n∈N^{*}\)，又\(2a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{2}+2\)成等差数列．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(b_{n}=2a_{n}-λ(\log _{2}a_{n+1})^{2}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为递增数列，求\(λ\)的取值范围．
              难度：较易
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