知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．（2016•上海模拟）先阅读参考材料，再解决此问题：
参考材料：求抛物线弧y=x²（0≤x≤2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积
解：把区间[0，2]进行n等分，得n-1个分点A（
2i
n
，0）（i=1，2，3，…，n-1），过分点A_i，作x轴的垂线，交抛物线于B_i，并如图构造n-1个矩形，先求出n-1个矩形的面积和S_n-1，再求
lim
n→∞
S_n-1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为
2
n
，第i个矩形的高为（
2i
n
）²，所以第i个矩形的面积为
2
n
•（
2i
n
）²；
S_n-1=
2
n
[
4•12
n2
+
4•22
n2
+
4•32
n2
+…+
4•(n-1)2
n2
]=
8
n3
[1²+2²+3²+…+（n-1）²]=
8
n3
•
n(n-1)(2n-1)
6

所以封闭图形的面积为
lim
n→∞
8
n3
•
n(n-1)(2n-1)
6
=
8
3

阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，不等式
1-
12
n2
+
1-
22
n2
+
1-
32
n2
+…+
1-
(n-1)2
n2
＜an恒成立，则实数a的取值范围为．

难度：中等

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3．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{x_n}由f（x_n）=n（n=0，1，2…）定义．
（1）若b=3，求x₁，x₂；
（2）求x_n的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；
（3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．

难度：中等

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4．定义
.
abc
是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
.
abc
的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
.
a1b1c1
，对于n＞1且n∈N，
.
anbncn
=f(
.
an-1bn-1cn-1
)，将
.
anbncn
的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d_n
（Ⅰ）当
.
abc
=636时，求
.
a1b1c1
，
.
a2b2c2
及d₂的值；
（Ⅱ）若d₁=6，求证：当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）求证：对任意三位数
.
abc
，n≥6时，
.
anbncn
=495．

难度：中等

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5．函数f（x）=sinx+x³．数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²+qn，p，q为常数，且a_n∈（-

，

），若f（a₁₀）＜0，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₈）+f（a₁₉）取值（　　）

A．恒为正数

B．恒为负数

C．恒为零

D．可正可负

难度：较难

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6．我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_k+1=
1
1-ak
，k∈N*，b_n=
.
2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，d_n=
.
2(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

难度：较难

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7．设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
kn+b
a1an+1
对任意的n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件a₁²+a_n+1²≤M，试求S_n的最大值．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=
x
4x+1
的图象上，b_n=
1
an
．（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n-2ⁿ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．设函数f（x）=x（

）^x+

x+1

，A₀为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量

k=1

Ak-1Ak

，向量

=（1，0），设θn为向量

与向量

的夹角，满足

k=1

tanθ_k＜

的最大整数n是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

难度：较难

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10．已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是
1
2
．
（1）求证点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{a_n}的通项公式是an=f(
n
m
)（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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