知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{7}=15\)，且点\((a_{n},a_{n+1})(n∈N^{*})\)在函数\(y=x+2\)的图象上．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=3^{a_{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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2．

函数\(y= \sqrt {9-(x-5)^{2}}\)的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {3}{4}\)

B．\( \sqrt {2}\)

C．\( \sqrt {3}\)

D．\( \sqrt {5}\)

难度：中等

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3．

在数列\(1\)，\(2\)，\( \sqrt {7}, \sqrt {10}, \sqrt {13}\)，\(…\)中，\(2 \sqrt {19}\)是这个数列的\((\)　　\()\)

A．第\(16\)项

B．第\(24\)项

C．第\(26\)项

D．第\(28\)项

难度：较易

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4．
如果\(n\)项有穷数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=a_{n}\)，\(a_{2}=a_{n-1}\)，\(…\)，\(a_{n}=a_{1}\)，即\(a_{i}=a_{n-i+1}(i=1,2,…,n)\)，则称有穷数列\(\{a_{n}\}\)为“对称数列”\(.\)例如，由组合数组成的数列\( C_{ n }^{ 0 }, C_{ n }^{ 1 },…, C_{ n }^{ n-1 }, C_{ n }^{ n }\)就是“对称数列”．
\((\)Ⅰ\()\)设数列\(\{b_{n}\}\)是项数为\(7\)的“对称数列”，其中\(b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(b_{4}\)成等比数列，且\(b_{2}=3\)，\(b_{5}=1.\)依次写出数列\(\{b_{n}\}\)的每一项；
\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{c_{n}\}\)是项数为\(2k-1(k∈N^{*}\)且\(k\geqslant 2)\)的“对称数列”，且满足\(|c_{n+1}-c_{n}|=2\)，记\(S_{n}\)为数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和；
\((ⅰ)\)若\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(…c_{k}\)是单调递增数列，且\(c_{k}=2017.\)当\(k\)为何值时，\(S_{2k-1}\)取得最大值？
\((ⅱ)\)若\(c_{1}=2018\)，且\(S_{2k-1}=2018\)，求\(k\)的最小值．

难度：中等

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5．
已知：在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{3a_{n}+1}\)，判断\(\{a_{n}\}\)的单调性．
小明同学给出了如下解答思路，请补全解答过程．
第一步，计算：
根据已知条件，计算出：\(a_{2}=\) ______ ，\(a_{3}=\) ______ ，\(a_{4}=\) ______ ．
第二步，猜想：
数列\(\{a_{n}\}\)是 ______ \((\)填递增、递减\()\)数列．
第三步，证明：
因为\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{3a_{n}+1}\)，所以\( \dfrac {1}{a_{n+1}}= \dfrac {3a_{n}+1}{a_{n}}= \dfrac {1}{a_{n}}+\) ______ ．
因此可以判断数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)是首项\( \dfrac {1}{a_{1}}=\) ______ ，公差\(d=\) ______ 的等差数列．
故数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)的通项公式为 ______ ．
且由此可以判断出：
数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)是 ______ \((\)填递增、递减\()\)数列，且各项均为 ______ \((\)填正数、负数或零\()\)．
所以数列\(\{a_{n}\}\)是 ______ \((\)填递增、递减\()\)数列．

难度：较易

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6．

设\(a_{n}=-n^{2}+9n+10\)，则数列\(\{a_{n}\}\)前\(n\)项和最大时\(n\)的值为\((\)　　\()\)

A．\(9\)

B．\(10\)

C．\(9\)或\(10\)

D．\(12\)

难度：较易

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7．

对于无穷数列\(\{{{a}_{n}}\}\)，\(\{{{b}_{n}}\}\)，若\({{b}_{k}}=\max \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}-\min \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}(k=1,2,3,\cdots )\)，则称\(\{{{b}_{n}}\}\)是\(\{{{a}_{n}}\}\)的“收缩数列”\(.\) 其中，\(\max \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}\)，\(\min \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}\)分别表示\({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\)中的最大数和最小数．已知\(\{{{a}_{n}}\}\)为无穷数列，其前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是\(\{{{a}_{n}}\}\)的“收缩数列”．
\((\)Ⅰ\()\)若\({{a}_{n}}=2n+1\)，求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和；
\((\)Ⅱ\()\)证明：\(\{{{b}_{n}}\}\)的“收缩数列”仍是\(\{{{b}_{n}}\}\)；
\((\)Ⅲ\()\)若\({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\cdots +{{S}_{n}}=\dfrac{n(n+1)}{2}{{a}_{1}}+\dfrac{n(n-1)}{2}{{b}_{n}}(n=1,2,3,\cdots )\)，求所有满足该条件的\(\{{{a}_{n}}\}\)．

难度：较难

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8．

能推出\(\{a_{n}\}\)是递增数列的是\((\)　　\()\)

A．\(\{a_{n}\}\)是等差数列且\(\{ \dfrac {a_{n}}{n}\}\)递增

B．\(S_{n}\)是等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且\(\{ \dfrac {S_{n}}{n}\}\)递增

C．\(\{a_{n}\}\)是等比数列，公比为\(q > 1\)

D．等比数列\(\{a_{n}\}\)，公比为\(0 < q < 1\)

难度：较易

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+1(n∈N^{*})\)，则它的通项公式是 ______ ．

难度：难

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10．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=an^{2}+n(n∈N*)\)，若满足\(a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}\)，且\(a_{n} > a_{n+1}\)，对任意\(n\geqslant 10\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是 ______ ．

难度：较易

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