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          共50条信息

            • 1． （2015•闸北区二模）观察下表：设第n行的各数之和为Sn，则
              lim
              n→∞
              Sn
              n2
              =    ．
              难度：中等
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            • 2． 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（n∈N*）．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=
              an+1
              an
              +
              an
              an+1
              （∈N*），试求
              lim
              n→∞
              （b1+b2+…+bn-2n）的值；
              （3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 3． 已知对任意n∈N*，向量
              dn
              =(an+1-
              1
              4
              an ， 
              a
              2
              n+1
              an
              )              都是直线y=x的方向向量，设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，则
              lim
              n→∞
              Sn              =    ．
              难度：中等
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            • 4． 已知等比数列{an}满足a2=2，a3=1，则
              lim
              n→+∞
              (a1a2+a2a3+…+anan+1)              =    ．
              难度：中等
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            • 5． 设{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{an}是封闭数列．
              （1）若a1=2，q=3，判断{an}是否为封闭数列，并说明理由；
              （2）证明{an}为封闭数列的充要条件是：存在整数m≥-1，使a1=qm；
              （3）记Πn是数列{an}的前n项之积，bn=log2Πn，若首项a1为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的封闭数列{an}，使
              lim
              n→∞
              (
              1
              b1
              +
              1
              b2
              +…+
              1
              bn
              )=
              11
              9
              ，若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 6． 我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
              .
              x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
              ．如：A=
              .
              2(-1)(3)(-2)(1)
              ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
              （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
              （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
              1
              1-ak
              ，k∈N*              ，bn=
              .
              2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
              （n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
              （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
              .
              2(
              C
              1
              n
              )(
              C
              2
              n
              )(
              C
              3
              n
              )…(
              C
              n-1
              n
              )(
              C
              n
              n
              )
              ，求
              lim
              n→∞
              dn
              dn+1
              ．
              难度：较难
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            • 7． 矩阵
              1a12…a1i…a1n
              2a22…a2i…a2n
              3a32…a3i…a3n
              ⋮⋮⋮⋮⋮⋮
              nan2…ani…ann
              中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为Si，则
              lim
              n→∞
              Sn 
              n2•2n
              =    ．
              难度：中等
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            • 8． 设an=
              2n-1，1≤n≤2，n∈N
              1
              3n
              ，n≥3，n∈N
              数列{an}的前n项和Sn，则
              lim
              n→∞
              Sn=    ．
              难度：中等
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            • 9． 对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{an}（即项数是无穷项），我们定义
              lim
              n→∞
              Sn（其中Sn是数列{an}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=
              lim
              n→∞
              Sn=
              a1
              1-q
              ，则循环小数0.
              •
              7
              •
              2
              的分数形式是    ．
              难度：中等
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            • 10． 设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|an-A|＜ɛ成立，就称数列{an}的极限为A，则四个无穷数列：
              ①{（-1）n×2}；
              ②{
              1
              1×3
              +
              1
              3×5
              +
              1
              5×7
              +…+
              1
              (2n-1)(2n+1)
              }；
              ③{1+
              1
              2
              +
              1
              22
              +
              1
              23
              +…+
              1
              2n-1
              }；
              ④{1×2+2×22+3×23+…+n×2n}，
              其极限为2共有（　　）
              A．4个
              B．3个
              C．2个
              D．1个
              难度：较难
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