知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在直角坐标平面内，已知点列P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），…如果k为正偶数，则向量
P1P2
+
P3P4
+
P5P6
+…+
Pk-1Pk
的纵坐标（用k表示）为．

难度：较难

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2．我们把一系列向量
ai
（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{
ai
}．已知向量列{
ai
}满足：
a1
，
an
=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2）．
（1）证明数列{|
ai
|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量
an-1
，
an
间的夹角，若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设|
an
|•log₂|
an
|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．已知点列A_n（x_n，0）满足：
A0An
•
A1An+1
=a-1，其中n∈N，又已知x₀=-1，x₁=1，a＞1．
（1）若x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B(
a
，0)，记a_n=|BA_n|（n∈N^*），且a_n+1＜a_n成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列a_n的前n项和为S_n，试求：Sn＜
a
-1
2-
a
．

难度：难

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4．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，若
OC
=a6
OA
+a2005
OB
且A、B、C三点共线，则S₂₀₁₀= ．

难度：中等

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5．已知向量
a
=(1，0)，
b
=(x，1)，当x＞0时，定义函数f(x)=
a
•
b
|
a
|+|
b
|
．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，
①证明：S_n＜2a；
②当a=1时，证明：an＞
1
2n
．

难度：较难

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6．已知函数，f（x）=x，g(x)=
3
8
x2+lnx+2．
（Ⅰ）求函数F（x）=g（x）-2•f（x）的极大值点与极小值点；
（Ⅱ）若函数F（x）=g（x）-2•f（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值（e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）设bn=f(n)
1
f(n+1)
（n∈N^*），试问数列{b_n}中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知：0＜θ＜π，等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ，
m
=(sin2θ，
1
2
)，
n
=(2，3-cos4θ)．
（1）问
m
•
n
是否为数列{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
（2）若等比数列{a_n}的公比q满足|q|＜1，求θ的取值范围．

难度：中等

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8．已知向量
m
∥
n
，其中
m
=(
1
x3+c-1
，-1)，
n
=(-1，y)（x，y，c∈R），把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）已知数列{a_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n项和等于S_n²，”求数列{a_n}的通项式；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足bn=4n-a•2an+1(a∈R)，求数列{b_n}的最小值．

难度：较难

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9．已知
i
、
j
分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，
OB1
=a•
i
+2
j
（a∈R），对任意正整数n，
BnBn+1
=51•
i
+3•2n-1
j
．
（1）若
OB1
⊥
B2B3
，求a的值；
（2）求向量
OBn
；
（3）设向量
OBn
=xn•
i
+yn•
j
，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x_n＜y_n成立．

难度：较难

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