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          共50条信息

            • 1． 已知两点F1（-1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．
              （1）求椭圆C的方程；
              （2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．
              难度：中等
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            • 2． 设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
              		3
              3
              x              相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，以（λn，0）表示Cn的圆心，已知{rn}为递增数列．
              （1）证明{rn}为等比数列（提示：
              rn
              λn
              =sinθ              ，其中θ为直线y=
              		3
              3
              x              的倾斜角）；
              （2）设r1=1，求数列{
              n
              rn
              }              的前n项和Sn；
              （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
              9
              4
              -
              an
              rn
              成立，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 3． 如果P1，P2，…，P9是抛物线y2=4x上的点，它们的横坐标x1，x2，…，x9依次成等差数列，F是抛物线的焦点，若x1+x9=2，则|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=    ．
              难度：中等
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            • 4． 已知数列{an} 的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3，…）；数列 {bn}中，b1=1，点p（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．
              （Ⅰ）求数列{an} 和 {bn}的通项公式；
              （Ⅱ）设数列{
              bn+1
              2
              }的前n和为Sn，求
              1
              S1
              +
              1
              S2
              +…+
              1
              Sn
              ；
              （Ⅲ）设数列{cn}的前n项和为Tn，且cn=an•bn，求Tn．
              难度：较难
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            • 5． 过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的长分别为a1，a2，a3，…，an，…，数列{an}的前n项的和为Sn．
              （1）求a1，a2；
              （2）求an，Sn；
              （3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{bn}的前n项和为Tn，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较Tp•Ts与Tq•Tr的大小．
              难度：较难
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            • 6． 如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的长分别为a1，a2，a3，…，an，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Qn-1PnQn，…的面积分别为G1，G2，G3，…，Gn，…，数列{an}的前n项的和为Sn．
              （1）求a1，a2；
              （2）求an，
              lim
              n→∞
              Gn
              Sn
              ；
              （3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{bn}的前n项和为Tn，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较Tp•Ts与Tq•Tr的大小．
              难度：较难
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            • 7． 已知曲线C：y=x2（x＞0），过C上的点A1（1，1）作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an（n∈N*）
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1；
              （3）求证：
              n
              i=1
              1
              aiSi
              ≤
              4n-1
              3
              ．
              难度：较难
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            • 8． （2012春•西城区期末）如图，设P0是抛物线y=x2上一点，且在第一象限．过点P0作抛物线的切线，交x轴于Q1点，过Q1点作x轴的垂线，交抛物线于P1点，此时就称P0确定了P1．依此类推，可由P1确定P2，…．记Pn（xn，yn），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
              ①xn＞0；
              ②数列{xn}为单调递减数列；
              ③对于∀n∈N，∃x0＞1，使得y0+y1+y2+…+yn＜2．
              其中所有正确结论的序号为    ．
              难度：较难
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            • 9． 已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A（0，1），离心率e=
              		2
              2
              ．
              （1）求椭圆C的方程；
              （2）设直线ln：y=
              1
              n+1
              （n∈N*）与椭圆C在第一象限内相交于点An（xn，yn），记an=
              1
              2
              x
               
              2
              n
              ，试证明：对∀n∈N*，a1•a2•…•an＞
              1
              2
              ．
              难度：较难
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            • 10． 已知数列{an}的前n项和为Sn，S2=3，且点（2n，Sn）在直线y=kx-1 上．
              （1）求k的值，并证明{an}是等比数列；
              （2）记Tn为数列{Sn}的前n项和，求使TN＞2010成立的n最小值．
              难度：中等
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