\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(\left| \overrightarrow{a} \right|=2,\left| \overrightarrow{b} \right|=1\)，则\(\left| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right|=\)_____．
\((2)\)已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的右顶点为\(A\)，以\(A\)为圆心，\(b\)为半径作圆\(A\)，圆\(A\)与双曲线\(C\)的一条渐近线交于\(M\)，\(N\)两点\(.\)若\(∠MAN=60^{\circ}\)，则\(C\)的离心率为_____．
\((3)\)在\(\triangle ABC\)中，\(AB\)边上的中线\(CO=4\)，若动点\(P\)满足\(\overrightarrow{PA}={{\sin }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{OA}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{CA}(\theta \in R)\)，则\((\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\cdot \overrightarrow{PC}\)的最小值是 ．
\((4)\)如图，圆形纸片的圆心为\(O\)，半径为\(5 cm\)，该纸片上的等边三角形\(ABC\)的中心为\(O\)．\(D\)，\(E\)，\(F\)为圆\(O\)上的点，\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)分别是以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为底边的等腰三角形\(.\)沿虚线剪开后，分别以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为折痕折起\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)，使得\(D\)，\(E\)，\(F\)重合，得到三棱锥\(.\)当\(\triangle ABC\)的边长变化时，所得三棱锥体积\((\)单位：\(cm\)\({\,\!}^{3}\)\()\)的最大值为_____．
