知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
e1
=（1，0），
e2
=（0，1），动点P从点P₀（-1，2）开始沿着与向量
e1
+
e2
相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|
e1
+
e2
|；另一动点Q从点Q₀（-2，-1）开始沿着与向量3
e1
+2
e2
相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3
e1
+2
e2
|，设P、Q在t=0秒时刻分别在P₀、Q₀处．
（1）经过多长时间|PQ|最小？求出最小值；
（2）经过多长时间后
PQ
⊥
P0Q0
，求出t值．

难度：中等

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2．如图，△ABC中，点E、F、G分别在边BC、AC、AB上，且
AG
GB
=
BE
EC
=
CF
FA
=
1
2
，设
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）用
a
、
b
表示向量
AF
；
（2）证明：
AE
+
BF
+
CG
=0．

难度：中等

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3．已知向量
OA
，
OB
，
OC
满足条件
OA
+
OB
+
OC
=0，|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=1，求证：△ABC为正三角形．

难度：中等

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4．设A，B，C是平面内任意三点，求证：
AB
+
BC
+
CA
=
0
．

难度：较易

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5．在平行四边形ABCD中，O为对角线交点，试用
BA
、
BC
表示
BO
．

难度：较易

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6．一轮渡向北以航速20km/h航行，此时风从西方吹来，风速5m/s，用作图法求轮渡的实际航行速度和方向．

难度：中等

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7．某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉进河水里，但一直航行到上游某处时此人才发现，便立即返航追赶，当他返航经过1小时追上小木块时，发现小木块距离桥6km远，若此人向上游和向下游航行时的划行力一样（相当于船在静水中前进的速率为一定值），则河水的流速为多少？

难度：中等

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8．已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量
OA
，
OB
，
OC
，
OD
满足等式
OA
+
OC
=
OB
+
OD
．
（1）作图并观察四边形ABCD的形状；
（2）四边形ABCD有什么特性？试证明你的猜想．

难度：较易

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9．汽艇在静水中的航行速度是12km/h，当它在流速为3km/h的河水中向着与河岸垂直的方向航行时，合速度的大小和方向怎样？

难度：较易

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10．作图验证：
（1）
1
2
(
a
+
b
)+
1
2
(
a
-
b
)=
a

（2）
1
2
(
a
+
b
)-
1
2
(
a
-
b
)=
b
．

难度：较易

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