知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设向量
e1
，
e2
的夹角为60°且|
e1
|=|
e2
|=1，如果
A
B=
e1
+
e2
，
B
C=2
e1
+8
e2
，
C
D=3(
e1
-
e2
)．
（1）证明：A、B、D三点共线．
（2）试确定实数k的值，使k的取值满足向量2
e1
+
e2
与向量
e1
+k
e2
垂直．

难度：中等

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2．设
e1
，
e2
是两个不共线的向量，若向量
a
=
e1
-λ
e2
(λ∈R)与向量
b
=-(λ
e1
-4
e2
)共线且方向相同，则λ= ．

难度：中等

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3．设
a
，
b
是两个不共线的向量，若
AB
=2
a
+k
b
，
CB
=
a
+3
b
，
CD
=2
a
-
b
，且A、B、D三点共线，则k= ．

难度：中等

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4．已知
OA
=
a
，
CB
=
b
点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA，OB分别交于P，Q两点．
（1）用
a
，
b
表示
OG
；
（2）若
OP
=m
a
，
OQ
=n
b
试问
1
m
+
1
n
是否为定值，证明你的结论．

难度：中等

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，且右焦点F到左准线的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知B为椭圆C在y轴的左测上一点，线段BF与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，且满足
AB
=2
FA
，求p的最大值．

难度：较难

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6．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量
OA
、
OB
、
OC
满足
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[
1
6
，
1
3
]，a＞ln
1
3
，证明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

难度：较难

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7．若O为△ABC内一点，3
OA
+2
OB
=λ
CO
且
S△OBC
S△ABC
=
1
3
，则λ= ．

难度：较难

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8． △ABC中，
AD
=
1
4
AB
，DE∥BC，且边AC相交于E，△ABC的中线AM与DE相交于N，如图所示，设
AB
=
a
，
AC
=
b

（1）试用
a
和
b
表示
DN
．
（2）若|
a
|=4，|
b
|=2，且∠BAC=60°，求
|DN
|．

难度：中等

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9．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，A、B、C三点坐标分别为（2，-2）、（5，2）、（-3，0），点N在AC上，且
AN
=2
NC
，AM与BN的交点为P，求：
（1）点P分向量
AM
所成的比λ的值；
（2）P点坐标．

难度：中等

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10．已知
i
，
j
分别是x轴，y轴方向上的单位向量，
OA1
=
j
，
OA2
=10
j
，且
An-1An
=3
AnAn+1
(n=2，3，4，…)，在射线y=x（x≥0）上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），
OB1
=3
i
+3
j
且|
Bn-1Bn
|=2
2
（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求
A4A5
；
（Ⅱ）求
OAn
，
OBn
；
（III）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

难度：较难

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