知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点O为三角形ABC内一点，
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，则
S△ABC
S△AOC
= ．

难度：中等

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2．已知A（1，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（Ⅰ）若|
OA
+
OC
|=
2+
3
（O为坐标原点），求
OB
与
OC
的夹角；
（Ⅱ）若
AC
⊥
BC
，求3sinα-cosα的值．

难度：中等

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3．（2015秋•台州期末）如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）若λ=
1
2
，用向量
OA
，
OB
表示
OP
；
（Ⅱ）若|
OA
|=4，|
OB
|=3，且∠AOB=60°，求
OP
•
AB
的取值范围．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=a|PB（a＞0
）．
（1）试讨论动点P的轨迹C；
（2）当a=
2
时，直线y=x+b与轨迹C交于两点M，N，若以线段MN为直径的圆恰好过坐标原点O，求b的值．

难度：较难

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5．如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量
a
是与向量
AB
垂直的单位向量．
（1）求单位向量
a
的坐标；
（2）求向量
AC
在向量
a
上的投影；
（3）求△ABC的面积S_△ABC．

难度：较难

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6．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，P为边AB上的一点，
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）若λ=3，试用
CA
，
CB
表示
CP
；
（Ⅱ）若|
CA
|=4，|
CB
|=3，且
CP
•
AB
=-6，求λ的值．

难度：中等

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7．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5）．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（Ⅱ）若点Q是直线OA上的任意一点，求
QB
•
QC
的最小值．

难度：中等

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8．已知
a
、
b
、
c
是同一平面内的三个向量，
a
=（1，
3
），
c
=（sinθ，cosθ），0≤θ≤
π
2
．
（1）若
a
∥
c
，求tanθ；
（2）若|
b
|=3，且
a
+2
b
与2
a
-
b
垂直，求
a
与
b
的夹角α的正弦值．

难度：中等

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9．已知点A（2，4），B（4，-1），C（1，y）．
BD
=（-1，2）
（1）求D点坐标；
（2）若AC⊥BD．求y的值；
（3）求cos＜
AB
，
AD
＞．

难度：较易

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10．
a
、
b
、
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，2），
b
=（-2，3），
c
=（-2，m）．
（1）若
a
⊥（
b
+
c
）求|
c
|；
（2）若k
a
+
b
与2
a
-
b
共线，求k的值．

难度：较易

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