知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
=（2+sinx，1），
b
=（2，-2），
c
=（sinx-3，1），
d
=（1，k）（x，k∈R）
（1）若x∈[-
π
2
，
π
2
]，且
a
∥（
b
+
c
），求x的值；
（2）若函数f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最小值；
（3）是否存在实数k，使得（
a
+
d
）⊥（
b
+
c
）？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知一非零向量列{
an
}满足：
a1
=（1，
3
），且
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）求证：{|
an
|}是等比数列；
（2）求证：
an-1
，
an
（n≥2）的夹角θ_n为定值．

难度：中等

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3．已知
a
=（m，cos
x
2
），
b
=（sin
x
2
，n），函数f（x）=
a
•
b
，函数f（x）的图象过点（
π
2
，4）和点（-
π
2
，0）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内的图象．

难度：中等

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4．已知
a
，
b
，
c
在同一平面内，且
a
=(-1，2)．
（1）若
c
=(m-1，3m)，且
c
∥
a
，求m的值；
（2）若|
a
-
b
|=3，且(
a
+2
b
)⊥(2
a
-
b
)，求向量
a
-
b
与
b
的夹角．

难度：中等

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5．已知
a
，
b
为平面向量，
a
=(2，-1)，2
a
+
b
=（1，2），
（1）求
b
；
（2）求向量
b
在
a
方向上的投影．

难度：较易

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6．在△ABC中，已知0＜A≤
π
4
，
AC
•
BC
=0，设
m
=（cosA，cosB），
n
=（sin2A，1+cos2B），
p
=（cosC，sinC），现定义f（A）=|
n
|-（
m
+
n
）•
p
．
（1）向量
m
，
n
是否一定共线？为什么？
（2）试分别求出函数f（A）的最大值与最小值．

难度：中等

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7．已知向量
m
=（sinA，sinB），
n
=（cosB，cosA），
m
•
n
=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，S_△ABC为△ABC的面积．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且
CA
•（
AB
-
AC
）=
162
3
S△ABC
，求△ABC的外接圆半径R．

难度：中等

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8．已知
a
=（3，2），
b
=（-1，2），
c
=（4，1）．
（1）用
b
和
c
表示
a
；
（2）若（
d
-
c
）∥（
a
+
b
），且|
d
-
c
|=
5
，求
d
．

难度：中等

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9．设|
.
a
|=4，|
b
|=3，（
a
，
b
）=
π
6
，求
a
+2
b
和
a
-3
b
为边的平行四边形的面积．

难度：中等

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10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量
m
=（α，sinB+sinC），
n
=（sinA，b-c）且
m
•
n
=bsinA
（1）求角C；
（2）若c=
3
，求a+2b的最大值．

难度：中等

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