知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）已知
m
，
n
是空间的两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量
p
=2
m
+
n
，
q
=-3
m
+2
n
．求向量
p
与
q
的夹角；
（Ⅱ）已知
u
，
v
是两个不共线的向量，
a
=
u
+
v
，
b
=3
u
-2
v
，
c
=2
u
+3
v
．求证：
a
，
b
，
.
c
共面．

难度：中等

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2．已知向量

，

，其中|

，|

|=2，且（

）⊥

，则向量

与

的夹角是（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：较易

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3．若A为△ABC一个内角，
a
=(sinA，
1
2
)，
b
=(1，-
3
)，
a
•
b
=0，则∠A= ．

难度：中等

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4．设平面内的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，求当
PA
•
PB
取最小值时，
OP
的坐标及∠APB的余弦值．

难度：中等

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5．（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61，求
a
与
b
的夹角θ；
（2）设
OA
=（2，5），
OB
=（3，1），
OC
=（6，3），在
OC
上是否存在点M，使
MA
⊥
MB
，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知向量
m
=(1，-2)与
n
=(1，λ)．
（Ⅰ）若
n
在
m
方向上的投影为
5
，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量
m
与
n
的夹角为锐角；命题q：关于x的方程
a
•
b
=0有实数解，其中向量
a
=(x-2，1)
b
=(x，λ2)(λ∈R)．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．

难度：中等

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7．关于平面向量
a
，
b
，
c
．有下列三个命题：
①若
a
•
b
=
a
•
c
，则
b
=
c
；
②若
a
=(1，k)，
b
=(-2，6)，
a
∥
b
，则k=-3；
③非零向量
a
和
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，则
a
与
a
+
b
的夹角为30°．
其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）

难度：中等

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8．已知向量
m
=(1，-2)与
n
=(1，λ)．
（Ⅰ）若
n
在
m
方向上的投影为
5
，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量
m
与
n
的夹角为锐角；
命题q：
a
=2
b
，其中向量
a
=(λ+2，λ2-cos2α)，
b
=（
1
2
λ+1，
λ
2
+sinα）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．

难度：中等

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9． △ABC中，
AB
•
BC
=3，△ABC面积S∈[
3
2
，
3
3
2
]，则
AB
与
BC
的夹角的取值范围为．

难度：中等

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10．已知|a|=1，|b|=
2
，且
a
⊥（
a
+
b
），则向量
a
与向量
b
夹角的大小是；向量
b
在向量
a
上的投影是．

难度：中等

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