知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设向量
a
=(λ+2，λ2-
3
cos2α)，向量
a
=(m，
m
2
+sinαcosα)，其中λ，m，α为实数．若向量
a
=2
b
，则
λ
m
的取值范围为．

难度：较难

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2．设向量
m
=（sin2ωx，cos2ωx），
n
=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜
π
2
，ω＞0，函数f（x）=
m
•
n
的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P(
π
6
，1)，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q(
5π
12
，0)．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的对边分别是a′b′c′若f（C）=-1，
CA
•
CB
=-
3
2
，且a+b=2
3
，求边长c．

难度：中等

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3．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，M，N分别是AD，BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，PM与QN交于R，A是原点，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），
（1）若
MP
⊥
NP
，求t的值
（2）求证：R，A，C三点共线．

难度：中等

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4．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
ap
|≥|
Sn
-
ap
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”．
（1）设
an
=（n，x+n）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，0)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知
a1
、
a2
、
a3
均是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，其中
a1
=(
ex
2
，0)，
a2
=(
e-x
2
，0)，求证：
|
a1
|²+|
a2
|²+|
a3
|²可以写成一个关于e^x的二次多项式与一个关于e^-x的二次多项式的乘积．

难度：较难

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5．已知向量
a
=（-
3
sin
x
2
，1），
b
=（1，cos
x
2
+2），函数f（x）=
3
2
a
•
b
．
（1）求函数f（x）在 x∈[-π，
5π
3
]的单调减区间；
（2）当x∈[
π
3
，π]时，若f（x）=2，求cos
x
2
的值．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系中，已知A（ cosx，1），B（l，-sinx），X∈R，
（Ⅰ）求|AB|的最小值；
（Ⅱ）设f(x)=
OA
•
OB
，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象求函数g（x）的对称中心．

难度：中等

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7．如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明，M是BD的一个三等分点．

难度：较易

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8．在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，E是线段CD上一点，满足|
CE
|=2||
DE
|，如图所示，设
AB
=
a
，
AD
=
b
．
（1）用
a
，
b
表示
BE
；
（2）在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求|
AF
|；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．在边长为1的正方形ABCD的CD边取一点E，使BC+CE=AE，F是DC的中点，试用平面向量的知识，证明：∠BAE=2∠FAD．

难度：中等

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10．设A，B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点，M为x轴正半轴上一点（A，O，B不共线）
（1）求证：
OA
+
OB
与
OA
-
OB
垂直
（2）当∠MOA=
π
4
，∠MOB=θ，θ∈（-
π
4
，
π
4
），且
OA
•
OB
=
3
5
时，求sinθ的值．

难度：中等

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