知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=（lnx-k-1）x（k∈R）
（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．
（2）若对于任意x∈[e，e²]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．
（3）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁x₂＜e^2k．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=xlnx+x²-ax+2（a∈R）有两个不同的零点x₁，x₂．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求证：x₁+x₂＞2．
（3）求证：x₁•x₂＞1．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=a（x-1）（e^x-a）（常数a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：0＜f（x₁）＜
4
e2
且0＜f（x₂）＜
4
e2
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=x³-x²+
x
2
+
1
4
，且存在x₀∈（0，
1
2
），使f（x₀）=x₀．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=
1
2
，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：
yn+1-xn+1
yn-xn
＜
1
2
．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（
a+b
2
）＜（b-a）ln2．

难度：较难

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6．当x＞0时，证明不等式1n（1+x）＞x-
1
2
x²成立．

难度：中等

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7．设函数f（x）=e^xlnx+
2ex-1
x
，证明f（x）＞1．

难度：中等

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8．求证：x＞1时，2x³＞x²+1．

难度：较难

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