知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设a是实数，f（x）=x²+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于
1
2
．

难度：较易

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2．对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n={x|x=
a
b
，a∈En，b∈En}．若集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②∀x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω．
如当n=2时，E₂={1，2}，P₂={1，2，
1
2
，
2
2
}．∀x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断P₃是否具有性质Ω．
（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

难度：较难

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3．设f（x）=x²-x+13，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

难度：较难

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4．已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

难度：中等

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5．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=
a+b
1+ab
．
（1）求证：a*b=S；
（2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

难度：中等

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6．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax²+bx+c中，a+b+c=0，a＞b＞c．
（1）证明函数f（x）有两个不同的零点；
（2）若存在x∈R，使ax²+bx+a+c=0成立．
①试判断f（x+3）的符号，并说明理由；
②当b≠0时，证明关于x的方程ax²+bx+a+c=0在区间（
c
a
，0），（0，1）内各有一个实根．

难度：中等

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8．下列各组对象能确定一个集合的是
（1）所有很大的实数．
（2）好心的人．
（3）1，2，2，3，4，5．

难度：较难

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9．已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．

难度：中等

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