知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．现有两个推理：
①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
②由“若数列{a_n}为等差数列，则有 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B6%7D%2Ba_%7B7%7D%2B%E2%80%A6%2Ba_%7B10%7D%7D%7B5%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B1%7D%2Ba_%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2Ba_%7B15%7D%7D%7B15%7D$ 成立”类比“若数列{b_n}为等比数列，则有 $%20%5Csqrt%5B5%5D%7Bb_%7B6%7Db_%7B7%7D%5Ccdots%20b_%7B10%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%5B15%5D%7Bb_%7B1%7Db_%7B2%7D%5Ccdots%20b_%7B15%7D%7D$ 成立”
则关于两个推理（　　）

A．都正确

B．只有②正确

C．只有①正确

D．都不正确

难度：易

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2．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值 $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bb%7D$ ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足 $a_%7Bij%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bi%2B%28j-i-1%29n%2Ci%3Cj%7D%7Bi%2B%28n-i%2Bj-1%29n%2Ci%5Cgeq%20j%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证： $%CE%BB%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D$ ．

难度：中等

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3．（1）已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则 $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D1$ ，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OBC%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OCA%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OAB%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%3D1$ ．
请运用类比思想，对于空间中的四面体A-BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．
（2）已知0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2，求证：x（2-y），y（2-z），z（2-x）不都大于1．

难度：较易

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4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式，并证明你的结论．
（参考公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβ∓sinαsinβsin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α）

难度：较易

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5．半径为r的圆的面积S（r）=πr²，周长C（r）=2πr，则S'（r）=C（r）①，对于半径为R的球，其体积 $V%28r%29%3D%20%5Cfrac%20%7B4%CF%80r%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，表面积S（r）=4πr²，请你写出类似于①的式子： ______ ．

难度：易

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6．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”．

该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为（　　）

A．2017×2²⁰¹⁶

B．2017×2²⁰¹⁴

C．2016×2²⁰¹⁷

D．2016×2²⁰¹⁸

难度：较易

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $a_%7B1%7D%3D1%EF%BC%8CS_%7Bn%7D%3Dn%5E%7B2%7Da_%7Bn%7D%28n%E2%88%88N_%7B%2B%7D%29$
（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

难度：较易

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8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为 ______ ．

难度：较难

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9．已知{b_n}为等比数列，b₅=2，则b₁b₂b₃…b₉=2⁹．若{a_n}为等差数列，a₅=2，则{a_n}的类似结论为 ______ ．

难度：易

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10．请按要求完成下列两题
（Ⅰ）已知a、b、c都为正实数，x、y分别为a与b、b与c的等差中项，且 $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Bc%7D%7By%7D%3D2$ ，求证：a、b、c成等比数列．
（Ⅱ）数列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列．
（1）计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）根据以上计算结果猜测S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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