知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ 与 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ 中至少有一个小于2．
（2）函数f（x）=lnx- $%20%5Cfrac%20%7Ba%28x-1%29%7D%7Bx%7D$ （x＞0，a∈R）．当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1．

难度：中等

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2．用反证法证明：当m为任何实数时，关于x的方程x²-5x+m=0与2x²+x+6-m=0至少有一个方程有实数根．

难度：较易

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3．（1）求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc%7D$ ）≥9
（2）已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2，求证a，b中至少有一个不少于0．

难度：较易

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4．设x，y都是正数，且x+y＞2．证明： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ ＜2和 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ ＜2中至少有一个成立．

难度：难

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5．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

难度：中等

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6．已知x∈R，a=x²+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，b=2-x，c=x²-x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．

难度：较易

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7．
已知函数$f(x)=a^{x}+ \dfrac {x-2}{x+1}(a > 1)$，求证：
$(1)$函数$f(x)$在$(-1,+∞)$上为增函数；
$(2)$方程$f(x)=0$没有负数根．

难度：难

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8．
设$x$，$y$都是正数，且$x+y > 2.$证明：$ \dfrac {1+x}{y} < 2$和$ \dfrac {1+y}{x} < 2$中至少有一个成立．

难度：难

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9．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B1-a%7D$ ≥9．

难度：较易

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10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f（x）在[0，1]上有意义，且f（0）=f（1），如果对于不同的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，求证：．那么他的反设应该是．

难度：中等

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